การขยายตัวของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบไม่แสดงอาการ ${}_3F_2$ สำหรับพารามิเตอร์ขนาดใหญ่
ฉันพบฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกต่อไปนี้ในการวิจัยของฉัน: $${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$ ที่ไหน $0<z<1$. ฉันสนใจพฤติกรรมของมันสำหรับขนาดใหญ่$n$. พล็อต Semilog แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นของเลขชี้กำลัง$n$อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหาในการหานิพจน์สำหรับการขยายตัวแบบไม่แสดงอาการ มีการอ้างอิงถึงเล่ม 1969 มากมายโดย Yudell Luke ฉันสแกนแล้วไม่มีประโยชน์สำหรับผลลัพธ์ที่ตรงกับสูตรข้างต้น ฉันเป็นเพียงนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และไม่คุ้นเคยกับวรรณกรรมเกี่ยวกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก (ซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างครอบคลุม) ฉันอยากจะขอบคุณความช่วยเหลือใด ๆ.
คำตอบ
ด้านล่างนี้เป็นการประเมินรูปแบบปิดในแง่ของฟังก์ชันง่ายๆ ปล่อย$y=z/(z-1).$ แล้ว $${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$ ฉันพิสูจน์สิ่งนี้โดยใช้คุณสมบัติสัญลักษณ์ Pochhammer ซึ่งทำให้ฉันได้ค่าผสมเชิงเส้นของ ${}_2F_1.$ จากนั้นฉันใช้การแปลงเชิงเส้นเพื่อหาจากอาร์กิวเมนต์ $z$ ถึง $y.$อนุกรมนั้นสามารถจัดการได้เพื่อให้ลอการิทึมและผลรวม จำกัด ตัวแปร$y$เป็นลบเสมอ แต่ถ้ามีค่าน้อยผลรวมจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว หากคุณวางสิ่งนี้ไว้ในคอมพิวเตอร์ระวังผลลบจำนวนมาก$y,$ ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับ $z$ใกล้เคียงกับ 1 ในผลรวม จำกัด ฉันอาจจะเพิ่มเงื่อนไขคู่กัน ถ้า$z\sim 1$ กรณีนี้เป็นกรณีที่สำคัญที่สุดของคุณดังนั้นคุณควรคิดถึงเรื่องนี้มากกว่านี้
เพิ่มแล้ว: ผลรวมของ $z\sim 1$สามารถทำได้โดยการขยายที่พบใน 'Asymptotic Expansions ที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมลอการิทึมและผลรวมตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้อง' G. Fikioris & P. Andrianesis, J. Class การวิเคราะห์เล่ม 7 # 2, (2015) 113-127.$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$ ที่ไหน $A_k(y)$ คือพหุนาม Eulerian และเริ่มต้นด้วย $A_0(y)=1$ และ $A_1(y) = y.$