การไล่ระดับสีของฟังก์ชันนูนจะต่อเนื่องกันที่ด้านในของโดเมน
ให้นูนครึ่งล่างและฟังก์ชั่นที่เหมาะสม $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ซึ่งแตกต่างกันได้บนโดเมนของมันจริงหรือไม่ที่ไล่ระดับสี $\nabla f$ ต่อเนื่องกับการตกแต่งภายในของโดเมนของ $f$เหรอ? ฉันมาที่นี่$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. สิ่งที่ฉันคิดขึ้นมาก็คือสำหรับฟังก์ชันดังกล่าว$f$มันจะต้องเป็นจริงอย่างนั้น $f$เป็น Lipschitz ในท้องถิ่นต่อเนื่องบนโดเมนของตนและตามทฤษฎีบทของ Rademacher มันเป็นเออีที่แตกต่างกันในท้องถิ่น อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้รับสิ่งที่ฉันต้องการ ใครมีหลักฐานหรือตัวอย่างตอบโต้
แก้ไข: นี่คือข้อพิสูจน์ 9.20 ใน Rockafellar และ Wets ตามที่ปรากฎ
คำตอบ
ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ได้ $\nabla f$ ต่อเนื่องที่ $x = 0$ เมื่อไหร่ $\nabla f(0) = 0$. สมมติ$x_n \to 0$ เป็นเช่นนั้น $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. ให้$\epsilon>0$ ดังนั้น $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, เลือก $n$ ดังนั้น $x_n \in B(0,\epsilon)$ และ $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. เรารู้ว่ามีอยู่$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, ดังนั้น $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (นั่นคือเลือก $y$ ในทิศทางของ $\nabla f(x_n)$ ใกล้กับ $x_n$). สำหรับ$t \in \mathbb R$, ปล่อย $z_t = t(y-x_n) + x_n$. โดยความนูนให้ดูที่สำหรับ$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ นั่นคือ $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ เลือก $t = \epsilon / |x_n - y|$. โปรดทราบว่า$|z_t| < 2 \epsilon$. แล้ว$$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ สิ่งนี้ขัดแย้งกับที่ $\nabla f(0) = 0$.
ฉันกำลังอัปเดตโพสต์นี้ด้วยคำถามติดตามผล: หาก $f$ เป็นฟังก์ชันนูนที่กำหนดบนชุดนูนบางชุด $E\subseteq \mathbb R^n$ และถ้ามันแตกต่างกันได้บน $E$เป็นความจริงหรือไม่ที่การไล่ระดับสีจะต้องเปิดต่อเนื่อง $E$ (และไม่ใช่เฉพาะการตกแต่งภายใน)?