การพิสูจน์กฎหมาย จำกัด และกฎอนุพันธ์ดูเหมือนโดยปริยายจะถือว่าขีด จำกัด นั้นมีอยู่ตั้งแต่แรก

Jan 09 2021

สมมติว่าฉันพยายามหาอนุพันธ์ของ $x^2$โดยใช้ความแตกต่างจากหลักการแรก อาร์กิวเมนต์ปกติจะเป็นดังนี้:

ถ้า $f(x)=x^2$แล้ว \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} เช่น $h$ แนวทาง $0$, $2x+h$ แนวทาง $2x$ดังนั้น $f'(x)=2x$.

ตลอดการโต้แย้งนี้ฉันสันนิษฐานว่า $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$เป็นวัตถุที่มีความหมายซึ่งขีด จำกัด นั้นมีอยู่จริง ฉันไม่เข้าใจจริงๆว่าอะไรเป็นเหตุผลของสมมติฐานนี้ สำหรับฉันบางครั้งการสันนิษฐานว่าวัตถุมีการกำหนดไว้อย่างดีอาจทำให้คุณได้ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นสมมติว่า$\log(0)$ มีเหตุผลใดที่เราสามารถสรุปได้ $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$ดังนั้นสมมติฐานที่ว่า$\log(0)$ แสดงถึงสิ่งที่มีความหมายทำให้เราสรุปได้ไม่ถูกต้องว่ามันเท่ากับ $0$. บ่อยครั้งเพื่อพิสูจน์ว่ามีขีด จำกัด อยู่เราจึงจัดการกับมันจนกว่าเราจะสามารถเขียนมันในรูปแบบที่คุ้นเคยได้ สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากบทพิสูจน์ของกฎลูกโซ่และกฎผลิตภัณฑ์ แต่บ่อยครั้งดูเหมือนว่าการจัดการจะเป็นธรรมได้ก็ต่อเมื่อเรารู้ว่ามีขีด จำกัด ตั้งแต่แรก! แล้วเกิดอะไรขึ้นที่นี่?


อีกตัวอย่างหนึ่งกฎลูกโซ่มักระบุว่า:

สมมติว่า $g$ มีความแตกต่างที่ $x$และ $f$ มีความแตกต่างที่ $g(x)$. จากนั้น$(f \circ g)$ มีความแตกต่างที่ $x$,และ$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$

หากพิสูจน์ได้ว่า $(f \circ g)$ มีความแตกต่างที่ $x$เพียงแค่คำนวณหาอนุพันธ์โดยใช้นิยามขีด จำกัด จากนั้นฉันก็รู้สึกไม่พอใจอีกครั้ง การคำนวณนี้ไม่ทำให้สมมติฐานอีกครั้งหรือไม่$(f \circ g)'(x)$ เข้าท่าตั้งแต่แรก?

คำตอบ

2 twosigma Jan 09 2021 at 21:19

โจทย์ : ให้$c \in \mathbb{R}$. สมมติ$f$ และ $g$ ถูกกำหนดและเท่าเทียมกันในบางลูกเปิดที่เจาะ $(c - \delta) \cup (c + \delta)$ ของ $c$, ที่ไหน $\delta > 0$. แล้ว$\lim_{x \to c} f(x)$ มีอยู่ก็ต่อเมื่อ $\lim_{x \to c} g(x)$มีอยู่ และถ้าขีด จำกัด อย่างใดอย่างหนึ่งมีอยู่อีกอันก็เช่นกันและทั้งคู่เท่ากัน

ร่างของการพิสูจน์ : สังเกตว่านิยามของขีด จำกัด ณ จุดใดจุดหนึ่ง$c$ กังวลตัวเองเฉพาะกับจุดที่ใกล้เคียง $c$ แต่ไม่เท่ากับ $c$. ดังนั้นค่าของอะไรก็ตาม$f$ หรือ $g$ ที่ $c$หรือไม่ว่าจะถูกกำหนดไว้ที่นั่นหรือไม่ก็ไม่สำคัญ ตั้งแต่$f$ และ $g$ มีค่าเท่ากันที่จุดใกล้เคียง $c$ แต่ไม่เท่ากับ $c$คำสั่ง จำกัด ของเราเกี่ยวกับฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่งที่ $c$ ดังนั้นจึงต้องถือไว้สำหรับคนอื่น ๆ $\square$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงการคำนวณขีด จำกัด ต่างๆที่เรามักจะทำเช่นที่คุณแสดง ในความเป็นจริงให้เราดูตัวอย่างของคุณทีละขั้นตอน

ถ้า $f(x)=x^2$แล้ว \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} เช่น $h$ แนวทาง $0$, $2x+h$ แนวทาง $2x$ดังนั้น $f'(x)=2x$.

ลำดับการคำนวณเหล่านี้มีความหมายหรือบ่งบอกถึงอะไรจริงๆ? ในขั้นตอนสุดท้าย / ความเท่าเทียมกันเราคำนวณ$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$ซึ่งเรายอมรับว่ามีอยู่จริงและเท่ากับ $2x$. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ เท่ากับ $2x + h$ ในย่านที่มีการเจาะทะลุของ $0$ตอนนี้เราสามารถใช้โจทย์เพื่อสรุปว่า $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ เท่ากับ $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$ซึ่งเท่ากับ $2x$. ดังนั้นการเปลี่ยนจากบรรทัด (3) ไปยังบรรทัด (2) จึงเป็นธรรม ถัดไปฟังก์ชั่น$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ เท่ากับ $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ ในย่านที่มีการเจาะทะลุของ $0$ดังนั้นอีกครั้งเราสามารถใช้ประพจน์เพื่อปรับเปลี่ยนจากบรรทัด (2) ไปยังบรรทัด (1)

ดังนั้นเราจึงมีเหตุผลย้อนกลับไป แต่ในทางปฏิบัติแล้วสิ่งนี้ไม่จำเป็นในการคำนวณขีด จำกัด ธรรมดา เหตุผลของเรายัง "ใช้ได้ผล" แม้ว่าจะไม่มีขีด จำกัด ก็ตาม หากในตอนท้ายเรามาถึงขีด จำกัด ที่มีอยู่เราจำเป็นต้องทำงานย้อนหลังและรับประกันว่าขีด จำกัด แรกเริ่มต้นนั้นมีอยู่จริง และหากในตอนท้ายเรามาถึงขีด จำกัด ที่ไม่มีอยู่จริงก็จำเป็นต้องไม่สามารถกำหนดขีด จำกัด แรกเริ่มต้นได้มิฉะนั้นเราสามารถลงไปตามชุดของการเทียบเท่าที่การันตีโดยประพจน์เพื่อรับประกันว่าขีด จำกัด สุดท้ายมีอยู่จริง

ดังนั้นในทุกกรณีสิ่งต่างๆ "ได้ผลดี" สิ่งสำคัญที่ควรทราบก็คือเรามีการเทียบเท่าเชิงตรรกะบางอย่างในแต่ละขั้นตอน: ขีด จำกัด มีอยู่ในบางขั้นตอนก็ต่อเมื่อมีอยู่ในขั้นตอนใด ๆ ก่อนหน้านี้หรือหลังจากนั้น

26 ElliotG Jan 09 2021 at 06:18

คุณคิดถูกแล้วที่เขียนไม่สมเหตุสมผล $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$เว้นแต่เราจะรู้ว่ามีขีด จำกัด อยู่แล้ว แต่จริงๆแล้วมันเป็นแค่ปัญหาด้านไวยากรณ์ เพื่อความแม่นยำก่อนอื่นคุณอาจพูดได้ว่าผลหารผลต่างสามารถเขียนซ้ำได้$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$แล้วใช้ความจริงที่ว่า $\lim\limits_{h\to 0}x=x$ และ $\lim\limits_{h\to 0}h=0$ เช่นเดียวกับกฎคงที่ - พหุคูณและกฎผลรวมสำหรับขีด จำกัด

การเพิ่มประโยคสุดท้าย: คุณสมบัติของลิมิตที่คุ้นเคยส่วนใหญ่จะเขียนว่า "ถอยหลัง" แบบนี้ กล่าวคือ "กฎหมายผลรวม จำกัด " กล่าวว่า$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ ตราบเท่าที $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ และ $\lim\limits_{x\to c}g(x)$ที่มีอยู่ แน่นอนว่าถ้ามันไม่มีอยู่แสดงว่าสมการที่เราเพิ่งเขียนไปก็ไม่มีความหมายดังนั้นเราควรเริ่มต้นด้วยคำยืนยันนั้น

ในทางปฏิบัติเรามักจะทำตัวสบาย ๆ ที่นี่หากไม่มีเหตุผลอื่นใดนอกจากการบันทึกจำนวนคำ อย่างไรก็ตามในชั้นเรียนการวิเคราะห์เบื้องต้นคุณอาจต้องการระมัดระวังให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้

5 AndreaMarino Jan 09 2021 at 06:38

คำตอบอื่น ๆ นั้นสมบูรณ์ดี เพียงแค่มุมมองที่สามารถช่วยชีวิตคุณได้ในสถานการณ์ที่การมีอยู่ของขีด จำกัด นั้นเป็นจุดวิกฤต

คำจำกัดความที่สำคัญคือหนึ่งใน limsup และ liminf: สิ่งเหล่านี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีเสมอและสิ่งที่คุณต้องรู้ในขณะนี้คือคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้:

  1. $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
  2. ขีด จำกัด ของ $f$ มีอยู่ถ้าและต่อเมื่อ $\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $และในกรณีนี้ขีด จำกัด จะเห็นด้วยกับค่านี้

ลองนึกภาพคุณทำการคำนวณของคุณสองครั้ง: ประการแรกคุณคำนวณลิมินเอฟ จากนั้นคุณคำนวณลิมอัพ ในการคำนวณทั้งสองอย่างทันทีที่คุณมาถึงสิ่งที่มีขีด จำกัด (เช่น$2x+h$) เนื่องจากคุณสมบัติ (2) คุณสามารถลืมเรื่องราว inf / sup และคำนวณขีด จำกัด ได้

เนื่องจากการปรับเปลี่ยนบางอย่างคุณมาถึงสิ่งที่มีขีด จำกัด การคำนวณทั้งสองจะให้ผลลัพธ์เหมือนกันและเนื่องจากคุณสมบัติ (2) อีกครั้งจึงมีขีด จำกัด และตรงกับค่าที่คุณเพิ่งคำนวณ

ตอนนี้นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณควรทำหากคุณกำลังทำการวิเคราะห์เบื้องต้นและคุณไม่รู้ว่า liminf และ limsup: คุณสมบัติทางการของทั้งสองนี้แตกต่างจากคุณสมบัติทางการของลิมเล็กน้อยและคุณอาจพบข้อผิดพลาด แต่ตราบใดที่คุณไม่ "แตะ" ขีด จำกัด และคุณเพียงแค่ทำการปรับแต่งบางอย่างภายในขีด จำกัด อาร์กิวเมนต์เดียวกันก็จะดำเนินต่อไป: ถ้าคุณได้ผลลัพธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีก็คือขีด จำกัด :)

5 Dark Jan 10 2021 at 01:54

สิ่งที่เรามีอยู่ที่นี่ควรตีความเป็นคำสั่งหลาย ๆ คำสั่ง:

(1. ) ถ้า $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ มีอยู่แล้ว $ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ มีอยู่และเท่ากับ $\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.

(2. ) ถ้า $ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ มีอยู่แล้ว $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ มีอยู่และเท่ากับ $\lim_{h \to 0} [2x + h]$.

(3. ) ถ้า $ \lim_{h \to 0} 2x$ มีอยู่แล้ว $ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ มีอยู่และเท่ากับ $ \lim_{h \to 0} 2x$.

(4. ) $ \lim_{h \to 0} 2x$ มีอยู่และเท่ากับ $ 2x $.

โปรดสังเกตว่าเมื่อเรามี (4. ) ส่วน "if" (ตามเงื่อนไข) ของ (3. ) เป็นที่พอใจแล้วจนถึง (1. ) คุณจะเห็นได้ว่าการสมมติว่ามีขีด จำกัด อยู่ในคำสั่ง 1 ถึง 3 ไม่ใช่ปัญหาเพราะคุณไม่ได้ใช้สมมติฐานนั้นเพื่อพิสูจน์ว่ามันทำได้จริง นั่นจะเป็นตรรกะแบบวงกลมและไม่ดี

ตัวอย่างบันทึกของคุณแตกต่างจากนี้ตรงที่คุณไม่มีคำสั่งที่รับบทบาทของคำสั่ง (4. ) ข้างต้นซึ่งจะทำให้คุณหลีกเลี่ยงเงื่อนไขได้ คุณได้พิสูจน์แล้วเท่านั้น$\log(0) = 0$ ถ้า $\log(0)$ มีอยู่ไม่ใช่อย่างนั้น $\log(0)$มีอยู่จริง! สิ่งนี้ไม่ใช่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง

4 user21820 Jan 09 2021 at 16:24

หากคุณต้องการให้แม่นยำยิ่งขึ้นคุณสามารถเขียน:

$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ หากมีขีด จำกัด

    $= \lim_{h→0} (2x+h)$ หากมีขีด จำกัด

    $= 2x$.

หมายความว่าแต่ละบรรทัดเก็บเฉพาะ "หากมีขีด จำกัด " แต่เราไม่จำเป็นต้องกังวลที่จะทำในกรณีส่วนใหญ่ด้วยเหตุผลสองประการ:

  1. โดยปกติแล้วจะง่ายพอที่จะเพิ่มเงื่อนไขดังกล่าวทางจิตใจและตรวจสอบว่าเราไม่ได้พึ่งพาการมีอยู่ของขีด จำกัด ณ จุดใด

  2. หากเราอนุญาตให้นิพจน์บรรลุ "ค่าที่ไม่ได้กำหนด" และกำหนดว่าทุกนิพจน์ที่มีนิพจน์ย่อย "ไม่ได้กำหนด" นั้นไม่ได้กำหนดเองเราก็ไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข "หากมีขีด จำกัด "! หากไม่ได้กำหนดขีด จำกัด ไว้ก็จะให้เครื่องหมาย "$\lim \cdots$"นิพจน์จะมีค่า" ไม่ได้กำหนด "ซึ่งจะไม่นำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง

2 MichaelHardy Jan 10 2021 at 02:37

อนุพันธ์ไม่มีอยู่เว้นแต่จะมีขีด จำกัด ของผลหารต่าง

"กฎข้อ จำกัด " ที่ระบุว่าขีด จำกัด ของผลรวมของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของขีด จำกัด ที่แยกจากกันทั้งสองจะไม่สามารถใช้ได้เว้นแต่จะมีขีด จำกัด ที่แยกจากกันสองข้อ สังเกตว่า

  • ไม่มีกรณีใดที่มีข้อ จำกัด สองข้อที่แยกจากกันและไม่มีขีด จำกัด ของผลรวม หากมีขีด จำกัด ที่แยกจากกันสองขีด จำกัด ของผลรวมก็เช่นกัน

  • อย่างไรก็ตามมีบางกรณีที่ไม่มีขีด จำกัด สองข้อที่แยกจากกันและขีด จำกัด ของผลรวมมี สถานการณ์คล้าย ๆ กันที่ใช้กับผลิตภัณฑ์แทนที่จะเป็นผลรวมเกิดขึ้นในบางสิ่งที่ฉันโพสต์ที่นี่เมื่อเร็ว ๆ นี้ (ฉันหาไม่เจอในตอนนี้) สำหรับหนึ่งในสองปัจจัยนี้ไม่มีขีด จำกัด แต่ฟังก์ชันถูก จำกัด ไว้ดังนั้นจึงสามารถหาขีด จำกัด ของผลิตภัณฑ์ได้โดยการบีบ

1 leftaroundabout Jan 10 2021 at 09:10

ปัญหาส่วนใหญ่จะหายไปหากเราเพียงแค่พิจารณา $\lim$ และ $\log$อย่างชัดเจนว่าฟังก์ชั่นบางส่วน ฟังก์ชันบางส่วนสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่โคโดเมนมีองค์ประกอบพิเศษ ( แยกแยะได้! ) หนึ่งองค์ประกอบโดยทั่วไปคือ "ค่าความผิดพลาด"$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$ ที่เรามีเช่น $$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$

ตอนนี้กฎหมายลอการิทึม $$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$ จะต้องเข้าใจด้วย "ยก" $+$ตัวดำเนินการที่ส่งผ่านความล้มเหลวในด้านใดด้านหนึ่ง แต่นั่นหมายความว่าสำหรับโอเปอเรเตอร์นี้เราไม่สามารถอนุมานได้$p+q=p$ ที่ $q=0$, เพราะ $\text{ERR}+q$อยู่เสมอ $\text{ERR}$ไม่ว่า! แต่จาก$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$ เราสามารถสรุปได้ $q = \text{OK}(0)$. ดังนั้นเราจะไม่ได้ข้อสรุปที่ผิดเกี่ยวกับ$\log(0)$เพราะนั่นไม่ใช่ไฟล์ $\text{OK}$ มูลค่า.

นำไปใช้กับขีด จำกัด ในการสร้างความแตกต่างเราสามารถเขียนได้ทันที$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$ เพียงสังเกตว่าผลลัพธ์อาจเป็นได้ $\text{ERR}$. สิ่งที่เราสามารถทำได้โดยไม่มีปัญหาคือเขียนนิพจน์ใหม่ภายในขีด จำกัด ด้วยอะไรก็ได้ที่ - เป็นฟังก์ชัน$h\mapsto\ldots$- จริงๆแล้ว ( ส่วนขยาย ) เหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีปัญหาสำหรับ$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$ เพราะ $h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ และ $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ เหมือนกันสำหรับทุกคนจริงๆ $h\in\mathbb{R}$. อย่างไรก็ตาม ณ จุดนี้เราไม่รู้ว่ามีข้อ จำกัด จริงหรือไม่ - อาจเป็นได้ทั้งคู่$\text{ERR}$, หรือทั้งคู่ $\text{OK}$แต่ในอัตราใด ๆ ที่เท่ากัน

สำหรับขั้นตอนต่อไปเราต้องการความจริงที่ว่าขีด จำกัด ถือว่าอาร์กิวเมนต์เป็นเพียงฟังก์ชันที่มีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นโดเมนเนื่องจากถือว่าเป็นฟังก์ชันบนโดเมนนั้นเท่านั้น $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ ฟังก์ชั่นเดียวกับ $h\mapsto 2\cdot x+h$.

และนั่นก็คือ ณ จุดนี้เราสามารถอ่านออกได้ว่าขีด จำกัด นั้นแน่นอน $\text{OK}(2\cdot x)$ และย้อนกลับไปเราจะเห็นว่าข้อ จำกัด อื่น ๆ ก็ต้องเป็นเช่นกัน $\text{OK}$ ด้วยค่าเดียวกันนั้น

1 stevengregory Jan 11 2021 at 05:50

โปรดทราบว่า $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ ไม่ได้กำหนดไว้ที่ $h=0$ และเมื่อ $h \ne 0$,

$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$

อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่น $:x \mapsto 2x+h$ ถูกกำหนดต่อเนื่องและมีค่าเป็น $2x$ ที่ $h=0$.

เรายังต้องใช้

$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$

ส่วนที่เหลือมีดังต่อไปนี้

BirdSetFree7 Jan 09 2021 at 06:21

ไม่มีการใช้คุณสมบัติของขีด จำกัด ในอาร์กิวเมนต์แรกก่อนขั้นตอนสุดท้ายดังนั้นสิ่งที่เราทำภายในขีด จำกัด นั้นเป็นเพียงการเขียนใหม่และเมื่อเราไปถึงขั้นตอนสุดท้ายเราสามารถแสดงการมีอยู่โดยใช้คำจำกัดความ epsilon-delta ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเกี่ยวข้องกับ ปัญหาการดำรงอยู่สิ่งเดียวกันกับสิ่งที่กฎลูกโซ่เนื่องจากทุกสิ่งในการพิสูจน์ก่อนขั้นตอนสุดท้ายเป็นเพียงการเขียนใหม่และขั้นตอนสุดท้ายที่ใช้คุณสมบัติของขีด จำกัด ซึ่งเป็นธรรมเนื่องจากคำจำกัดความ epsilon delta เกี่ยวข้องกับปัญหาการดำรงอยู่หวังว่านี่ ช่วย

Vercassivelaunos Jan 09 2021 at 06:16

หากเราต้องการให้ชัดเจนอย่างแน่นอนอาร์กิวเมนต์สำหรับอนุพันธ์ควรเป็นดังต่อไปนี้: $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ และ $\lim\limits_{h\to0}2x+h$ทั้งสองมีอยู่และเท่ากันก็ต่อเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างเท่านั้น ตั้งแต่$\lim\limits_{h\to0}2x+h$ มีอยู่จริงและเป็น $2x$ขีด จำกัด อื่น ๆ ก็เช่นกัน (นั่นคือ $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) มีอยู่และเป็น $2x$.

สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับตัวอย่างลอการิทึมของคุณ: คุณสามารถโต้แย้งได้ $\log0$ และ $\log0+\log0$มีอยู่และเหมือนกันหากมีอย่างน้อยหนึ่งในสองอย่าง แต่ไม่มีอยู่ดังนั้นประเด็นคือการสงสัย