การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันตามเงื่อนไขของHölderโดยใช้การแจกแจงตามเงื่อนไขปกติ

Question

ฉันกำลังพยายามพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันตามเงื่อนไขของHölderโดยใช้การแจกแจงตามเงื่อนไขปกติ ความไม่เท่าเทียมที่ฉันพยายามพิสูจน์คือ:

สำหรับ $p,q \in (1,\infty)$ ด้วย $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, และสำหรับ $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ และ $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, และสำหรับ $\mathcal F \subset \mathcal A$ ย่อย$\sigma$- พีชคณิตเกือบจะแน่นอนว่าเรามี $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$

ฉันพบข้อพิสูจน์มากมายเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนี้ แต่ฉันพยายามพิสูจน์โดยเฉพาะโดยใช้ทฤษฎีบทของการแจกแจงตามเงื่อนไขปกติ:

ปล่อย $X$ เป็นตัวแปรสุ่มบน $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ ด้วยค่าในช่องว่าง Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ เป็นส่วนย่อย$\sigma$- พีชคณิตและ $\kappa_{X,\mathcal F}$ การแจกแจงตามเงื่อนไขปกติของ $X$ ให้ $\mathcal F$. ต่อไปให้$f : E \to \mathbb R$ สามารถวัดผลได้และ $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. จากนั้น$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb ป$-almost all $\ โอเมก้า \ ใน \ โอเมก้า$}. $$

การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Young และความจำเจและความเป็นเชิงเส้นของความคาดหวังตามเงื่อนไขช่วยให้ฉัน $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$แต่ฉันมีปัญหาในการแยกจากที่นี่ไปสู่อสมการที่ต้องการ อีกวิธีหนึ่งคืออสมการมาตรฐานของเฮิลเดอร์ให้เรา$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$ดังนั้นผลลัพธ์ข้างต้นก็มีความหมายเช่นกัน $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ แต่ทั้งสองวิธีนี้ทำให้ฉันไปสู่การโต้เถียงแบบวงกลมหรือใช้มาตรการที่ฉันไม่คิดว่ามีอยู่จริง (เช่น $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ สำหรับการแก้ไข $\omega\in\Omega$). มีคำแนะนำหรือสถานที่อื่น ๆ ให้ดูไหม?

Answer 1

ปล่อย $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ เป็นประมาณการ $\pi_1(x,y) = x$ และ $\pi_2(x,y) = y$. หลังจากแสดง$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ โดยผลที่อ้างถึงในการแจกแจงตามเงื่อนไขปกติซึ่งมีข้อ จำกัด สำหรับ ae $\omega\in\Omega$. ดังนั้น$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$และในทำนองเดียวกัน $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$สำหรับ ae $\omega\in\Omega$. ดังนั้น\ เริ่ม {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {โดยผลที่อ้างถึงในการแจกแจงตามเงื่อนไขปกติ} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {โดย ใช้อสมการมาตรฐานของHölderกับ} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {โดยผลที่อ้างถึงและใช้คุณสมบัติการวัดรูปภาพของ$\kappa_{X,\mathcal F}$ และ $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}

Answer 2

เริ่มต้นด้วย $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$

ถ้า $Z$ คือ $\mathcal F$ วัดผลได้แล้ว $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาศูนย์และอินฟินิตี้ก่อนอื่นให้ใช้กับ $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$และในทำนองเดียวกันสำหรับ $Y$แล้วปล่อยให้ $\epsilon \to 0+$และ $N \to \infty$.

แน่นอนเมื่อคุณทำอสมการของ Young ในช่วงเริ่มต้นการแนะนำการแจกแจงตามเงื่อนไขแบบปกติเป็นขั้นตอนพิเศษที่ไม่มีจุดมุ่งหมาย

Answer 3

อีกครั้งฉันไม่ได้ตอบคำถามของคุณ แต่นี่ใหญ่เกินไปสำหรับความคิดเห็น

เมื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของผู้ถือมาตรฐานเราใช้อสมการของ Young ในรูปแบบนี้: สำหรับข้อใด ๆ $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ จากที่คุณได้รับ $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ จากนั้นคุณใช้: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (นี่เป็นเพียงการวางเงื่อนไขสำหรับความเท่าเทียมลงในความไม่เท่าเทียมกันของ Young) ในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของผู้ถือรูปแบบเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกันจะถูกยึด $\lambda$ บวก $\mathcal F$- ฟังก์ชั่นที่วัดได้

แต่สิ่งที่บอกก็คือถ้าคุณต้องการใช้การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขคุณควรใช้รูปแบบของอสมการของ Young ที่ฉันเขียนไว้ข้างต้น