การประมาณของไหลไม่บีบอัดและของไหลเทียบกับความเร็วเสียง
พิจารณากรณีต่อไปนี้: ท่อตรงที่มีอัตราการไหลของมวลคงที่ของน้ำ $\dot m_{in}=\dot m_{out}$ และด้วยพลังเชิงเส้นที่ป้อนเข้ามา $\dot Q [\frac W m]$. และน้ำเป็นเฟสของเหลวในหลอดทั้งหมด
อาจารย์ของฉันบอกเราว่าในกรณีนี้ของเหลวที่บีบอัดไม่ได้เป็นการประมาณที่ดีถ้าความเร็วของน้ำน้อยกว่าความเร็วของเสียงมาก คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมสิ่งนี้จึงเป็นเกณฑ์ที่ดี โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่ทำให้ฉันสับสนก็คือความหนาแน่นควรเปลี่ยนไปตามภูมิภาคอุณหภูมิ
คำตอบ
มันขึ้นอยู่กับความเร็ว
โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่ทำให้ฉันสับสนก็คือความหนาแน่นควรเปลี่ยนไปตามภูมิภาคอุณหภูมิ
คุณระบุว่าน้ำยังคงเป็นของเหลวตามความยาวของท่อและถ้าคุณดูตารางคุณสมบัติของน้ำที่ความดันบรรยากาศในช่วง 32 ถึง 90 องศาเซลเซียสการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นจะอยู่ที่ประมาณ 3% ซึ่งแทบจะไม่สามารถบีบอัดได้
นิยามทางคณิตศาสตร์ของความไม่บีบอัดของการไหลคือความแตกต่างของเวกเตอร์ความเร็วเป็นศูนย์: $$ \nabla.\vec{V}= \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$
แต่คำจำกัดความนี้อาจสร้างความสับสนได้เช่นการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นของน้ำที่อุณหภูมิห้องมีความสำคัญเล็กน้อยดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่ถ้าคุณสูบน้ำเดียวกันด้วยความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วของเสียงเฉพาะวัสดุกระแสจะบีบอัดได้
ดังนั้นจึงมีการกล่าวว่าโฟลว์สามารถบีบอัดได้หากความเร็วของมันอยู่ที่ประมาณ 30% ของความเร็วเสียงหรือจำนวนมัค $\text{Ma}_{crit} \ge 0.3$.
ความเร็วของน้ำที่ 20 องศา C อยู่ที่ประมาณ $1,480$ m / s และความเร็วที่สอดคล้องกันที่ $\text{Ma} = 0.3$ คือ $v = 444$ m / s ซึ่งไม่ยากที่จะบรรลุโดยใช้เครื่องฉีดน้ำ
ดังนั้นในปัญหาของคุณคุณสามารถคำนวณช่วงความเร็วที่คุณอาจมีและเปรียบเทียบได้ $\text{Ma}_{crit}$เพื่อตรวจสอบว่าการไหลของของเหลวของคุณใกล้เคียงกับการบีบอัดหรือไม่บีบอัด
หมายเหตุ: คำตอบนี้อ้างอิงจากการอภิปรายของRodriguezเกี่ยวกับการประมาณแบบไม่บีบอัดในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณซึ่งขอแนะนำอย่างยิ่ง
คำถามนี้ทำให้เกิดความสับสนระหว่างแนวคิดสองประการ หนึ่งคือแนวคิดของการไหลแบบไม่บีบอัดและอีกแบบคือการไหลที่มีความหนาแน่นคงที่
ศาสตราจารย์กำลังอ้างถึงเกณฑ์ที่อนุญาตให้คุณใช้สมการการไหลแบบไม่บีบอัดโดยไม่ต้องเติมความร้อน เมื่อคุณได้สมการการไหลทั่วไปโดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันการอนุรักษ์มวลและสมการของรัฐคุณจะพบว่ามีพารามิเตอร์ที่สำคัญที่เรียกว่า Mach Number, M ซึ่งหมายถึงความเร็วของของไหลหารด้วยความเร็วเสียงในท้องถิ่น ยิ่งไปกว่านั้น M จะปรากฏเป็น M ^ 2 และตัวหลังมักปรากฏในรูปแบบเช่น (1 - M ^ 2) เมื่อคุณศึกษาสมการเหล่านี้คุณจะพบว่าถ้าคุณละเลย M ^ 2 เมื่อเทียบกับเอกภาพคุณจะพบว่าความหนาแน่นไม่มีความแปรผัน ดังนั้นถ้า M ^ 2 เป็น << 1 คุณสามารถใช้สมการการไหลแบบไม่บีบอัดได้โดยไม่ต้องเพิ่มความร้อน ในทางปฏิบัติหมายถึงโฟลว์ที่ประมาณ M ^ 2 <0.1 หรือ M <0.3
ด้วยการเพิ่มความร้อนคุณต้องเรียกใช้นอกเหนือจากหลักการที่กล่าวข้างต้นสมการพลังงาน ชุดเหล่านี้เป็นชุดที่ซับซ้อนกว่ามากและมักเป็นประโยชน์ในการมองหาการทำให้เข้าใจง่ายน้อยลง แต่มีประโยชน์มากเว้นแต่จะเห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นไม่ว่าจะด้วยเหตุผลใดก็ตาม - เป็นคุณสมบัติที่สำคัญของโฟลว์