การรับเอฟเฟกต์ Aharonov-Bohm ที่ไม่ใช่ abelian เป็นระยะ Berry
ฉันกำลังพยายามหาเอฟเฟกต์ Aharonov-Bohm ที่ไม่ใช่ abelianโดยทั่วไปการได้มาของMichael Berryในกรณีของเขตข้อมูลมาตรวัดที่ไม่ใช่ abelian$A$.
ที่มาของฉันจนถึงตอนนี้
เราต้องการ eigenspace ที่เสื่อมสภาพเพื่อให้ได้เฟส Berry ที่ไม่ใช่ abelian ดังนั้นฉันจึงใช้พื้นที่ Hilbert ของฉันเป็น $\mathcal{H} = \mathcal{H}_\text{spatial} \otimes \mathcal{H}_\text{internal}$, ที่ไหน $\mathrm{dim}(\mathcal{H}_\text{internal})=N$. wavefunctions จะอยู่ในรูปแบบ
$$\Psi(x,t) = \psi(x,t) \mathbf{v} ,$$
ที่ไหน $\psi(x,t) $ คือความผิดปกติของคลื่นเชิงพื้นที่และ $\mathbf{v} $คือเวกเตอร์สถานะภายในของระบบ ตอนนี้ฉันใช้แฮมิลตันของฉันเป็น
$$ H(X) = - \frac{1}{2m } (\nabla \mathbb{I} - ie A)^2 + V(X-x)\mathbb{I}$$
ที่ไหน $V(X-x)$ คือศักยภาพในการ จำกัด ซึ่งดักจับอนุภาคของเราไว้ในกล่องเล็ก ๆ ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่ง $X$, $A$ คือเขตข้อมูลมาตรวัดของเราและ $\mathbb{I}$ คือการระบุตัวตนบน $\mathcal{H}_\text{internal}$. Hamiltonian นี้เกือบจะเหมือนกับ Hamiltonian ที่ใช้ในการมาของ Berry ยกเว้นตอนนี้ฉันได้อัปเกรดเป็นตัวดำเนินการบน$\mathcal{H}$ โดยอนุญาต $H$ มีดัชนีภายในด้วยและอนุญาต $A$ เป็นฟิลด์เกจที่ไม่ใช่เอเบเลียน
โดยทั่วไปผลของกระดาษ Berry คือ $N$ สถานะเฉพาะของแฮมิลตันที่มีพลังงาน $E$ ในพื้นที่ที่มีความโค้งของ $A$ หายไปโดย
$$ \Psi_j(X;x,t) =P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) \psi_E(X;x,t) e_j $$ ที่ไหน $P$ หมายถึงลำดับเส้นทาง $\psi_E$ คือความผิดปกติของคลื่นอวกาศที่มีพลังงาน $E$ และ $e_j$ เป็นเวกเตอร์พื้นฐานของ $\mathcal{H}_\text{internal}$. นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงเป็นตัวดำเนินการที่แตกต่างกัน$\nabla$ ทำหน้าที่ในระดับอิสระเชิงพื้นที่เท่านั้นดังนั้นเราจึงมีสถานะเฉพาะหนึ่งรายการสำหรับเวกเตอร์พื้นฐานทุกตัว $\mathbf{e}_j$และด้วยเหตุนี้ความเสื่อมที่ต้องการของเราจึงจำเป็นสำหรับการเชื่อมต่อ Berry ที่ไม่ใช่ abelian การแก้ไขการเชื่อมต่อ Berry ได้รับจาก
$$ [\mathcal{A}_\mu]_{ij}(X) = i\langle \Psi_i(X) | \frac{\partial}{\partial X^\mu} | \Psi_j(X) \rangle \\ = i\int \mathrm{d}^n x e_i^\dagger \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) (iA_\mu) P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) e_j \psi_E^*(X;x,t) \psi_E(X;x,t)$$
ที่ไหน $\bar{P}$เป็นตัวดำเนินการต่อต้านเส้นทางซึ่งเกิดจากการใช้คอนจูเกต Hermitian สำหรับกรณีของฟิลด์เกจอะเบลเลียน$A$เลขชี้กำลังจะเคลื่อนผ่านทุกอย่างและการเชื่อมต่อ Berry จะลดลงเหลือ $\mathcal{A} \propto A$อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่าจะประเมินสิ่งนี้อย่างไรสำหรับกรณีของการเชื่อมต่อที่ไม่ใช่อาเบล
ปัญหาของฉัน
แหล่งข้อมูลหลายแห่งแนะนำว่าเอฟเฟกต์ Aharonov-Bohm ที่ไม่ใช่ abelian จะให้เส้น Wilson ของฟิลด์มาตรวัด
$$ U = P \exp \left( -i \oint_C A \cdot \mathrm{d} l \right) $$เช่นนี้และสิ่งนี้ซึ่งแนะนำให้ฉันทราบว่าการเชื่อมต่อ Berry เป็นสัดส่วนกับเขตข้อมูลมาตรวัดกล่าวคือ$\mathcal{A} \propto A$อย่างไรก็ตามจากการได้มาของฉันฉันติดอยู่ที่บรรทัดสุดท้ายด้านบนซึ่งฉันต้องประเมิน
$$ \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) A_\mu P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right)=? $$
มีสูตรทั่วไปของ Baker-Campbell-Hausdorff สำหรับพา ธ ที่สั่งเลขเอ็กซ์โปเนนเชียลหรือไม่เช่น $e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2} [X,[X,Y]] + \ldots $เหรอ?
คำตอบ
ฟังก์ชันของคลื่นไม่ได้มีค่าเดียวหากคุณวนรอบที่ล้อมรอบฟลักซ์ ฉันไม่คิดว่าวิธีแก้ปัญหาสำหรับเอเบลเลียน BA จะมีผลต่ออนุภาคโมเมนตัม$k$ กระจายโซลินอยด์
$$ \psi(r,\theta)= \sum_{l=-\infty}^{\infty} e^{il \theta -(\pi/2)(l-\alpha)}J_{|l-\alpha|}(kr) $$ สามารถแยกตัวประกอบในรูปแบบของคุณได้ แต่ฉันคิดผิด
อา - ฉันเห็นสิ่งที่คุณกำลังทำอยู่ คุณไม่ได้แก้ปัญหากระจัดกระจายที่ไม่ใช่ภาษาอาเบเลียนแบบที่ Peter Horvathy ทำ คุณสนใจเพียงอนุภาคในกล่องเล็ก ๆ ที่ถูกพัดพาไปรอบ ๆ ฟลักซ์เหมือนที่ Michal Berry ทำ คุณจึงไม่สามารถหาโซลูชันการกระจายแบบเต็มได้ ดังที่ Berry กล่าวว่าโซลูชันของเขามีมูลค่าเพียงหนึ่งเดียว${\bf r}$ แต่เฉพาะใน ${\bf R}$.
ในภูมิภาคที่เชื่อมต่อกันเราสามารถเขียนได้ $A_\mu(x) = U^\dagger(x)\partial_{x^\mu} U(x)$ และเป็น $(\partial_\mu+A)U^{-1} \psi= U^{-1} \partial_\mu\psi$ เราเห็นว่าเราเขียนได้ $\psi(x)= U^{-1}(x)\psi_0(x-X)$ สำหรับกล่องอนุภาคที่อยู่ตรงกลาง $X$ และที่ไหน $\psi_0$คือฟังก์ชันคลื่นสนามที่เป็นศูนย์ ด้วยตัวเลือกของฟังก์ชันคลื่นนี้การเชื่อมต่อ Berry จะเป็นศูนย์เนื่องจากฟังก์ชันของคลื่นเป็นสิ่งที่ต้องการให้เป็นจุดนั้นเสมอ ไม่จำเป็นต้องมีการขนส่งอะเดียแบติกแบล็กเบอร์รี เพื่อให้ได้การเชื่อมต่อที่ไม่ใช่ศูนย์เราสามารถกำหนดฟังก์ชันคลื่นของเราใหม่เพื่อให้ฟังก์ชันของคลื่นในแต่ละกล่องมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ ในการทำเช่นนี้เราแทนที่$\psi(x)$ ด้วย $U^{-1}(x) U(X)\psi_0$ เพื่อให้อยู่ตรงกลาง $x=X$ ของแต่ละกล่องเป็นฟังก์ชันของคลื่นลูกใหม่ $\psi(X)=\psi_0(X)$ เหมือนกันโดยไม่ขึ้นกับตำแหน่ง $X$ของกล่อง ตอนนี้การคำนวณของคุณให้โดยตรง${\mathcal A}_\mu(X) = U^{-1}(X)\partial_{X^\mu} U(X)$.
นี่คือรายละเอียด ปล่อยให้ฟังก์ชันของคลื่นในกล่องเป็น$$ U^{-1}(x) U(X)\psi_0(x-X)\stackrel{\rm def}{=} \langle x |0,X\rangle $$ ที่ไหน $\psi_0$เป็นมาตรฐาน จากนั้นการเชื่อมต่อ Berry คือ$$ \langle 0,X|\partial_{X^\mu}|0,X\rangle = \int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) U(x) \partial_{X^\mu}\Big( U^{-1}(x)U(X) \psi_0(x-X)\Big)\\ =\int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) \partial_{X^\mu}\Big(U(X) \psi_0(x-X)\Big) $$ มีคำศัพท์สองคำที่ต้องประเมิน: คำที่เป็นอนุพันธ์นิยม $U(X)$ และอีกหนึ่งจุดที่ฮิต $\psi_0(x-X)$. ประการแรกคือ$$ \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{X^\mu} \psi_0(x-X)= - \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{x^\mu} \psi_0(x-X)\\ = \frac 12 \int dx \partial_{x^\mu}|\psi|^2\\ =0 $$ เพราะคุณได้ตั้งค่า $\psi_{0,i} = v_i \psi_0$ ที่ไหน $v_i$ คือแอมพลิจูดเวกเตอร์เชิงซ้อนที่ $U$ ทำหน้าที่และ $\psi$การเป็นสถานะที่ถูกผูกมัดเป็นเรื่องจริงและหายไปในขอบเขตของกล่อง ประการที่สองคือ$$ U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X) \int dx |\psi_0|^2\\ = U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X)=A_\mu(X). $$ ดังนั้นการเชื่อมต่อ Berry จึงเป็นเพียงช่องเกจที่ประเมินตรงกลางกล่อง