การรวมจะสิ้นสุดที่ใด
ฉันยังใหม่กับอินทิกรัล ฉันกำลังแก้$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ แต่ฉันได้รับคำตอบผิด: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ คำตอบที่ถูกต้องควรเป็น: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ นี่คือความพยายามทั้งหมดของฉัน: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ คุณช่วยแก้ไขให้ฉันและให้แหล่งเรียนรู้จากฉันได้ไหม
ขอบคุณล่วงหน้า!
คำตอบ
คุณถูกต้องมาตลอดจนถึง (และรวมถึง) ขั้นตอน:
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
คุณใช้ความจริงที่ว่าไม่ถูกต้อง
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
สังเกตว่าต้องเป็น ${1+x^2}$- ไม่ ${1+ax^2}$. จากนั้นคุณควรทำการเปลี่ยนตัวแทน${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ ที่จะได้รับ
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
ตามความจำเป็น.
ให้ $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
เรารู้ว่า,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
ดังนั้น,
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ ที่นี่$a=1$ และ $u=\frac{x}{\sqrt3}$ และ $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,
กล่าวคือ $dx={\sqrt3}du$
ดังนั้นคำตอบที่เราต้องการคือ
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
การแทนที่ของเรากลับเข้าไปในผลตอบแทนอินทิกรัล
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
ดังนั้นตอนนี้เราจึงเหลือ
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
เนื่องจากนี่เป็นอินทิกรัลไม่ จำกัด เราจึงต้องเขียนคำตอบของเราในรูปของ x เมื่อมองย้อนกลับไปที่การเปลี่ยนตัวของเราและการจัดเรียงทีต้าใหม่เราจะได้คำตอบสุดท้าย:
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
ปัญหาของคุณอยู่ที่ความเท่าเทียมกันสุดท้าย ถ้า$F(x)$ เป็นดั้งเดิมของ $f(x)$, และถ้า $c\ne0$แล้วดั้งเดิมของ $f(cx)$ จะ $\frac1cF(cx)$. ดังนั้นตั้งแต่$\arctan(x)$ เป็นดั้งเดิมของ $\frac1{1+x^2}$ดั้งเดิมของ $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ จะ $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.
ทดแทน $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$