การรวมฟังก์ชันที่มีเหตุผล 'บิด'
สำหรับ $x\in [0,1]$, ปล่อย $$ P_n (x) = \prod_{k=1}^{n} (x^k+1)^{(-1)^k}. $$ตัวอย่างเช่น, $\displaystyle{P_4(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+1)}{(x+1)(x^3+1)}}$. หมายเหตุ:$P_n(1)=1/2$ ถ้า $n$ เป็นเลขคี่และ $1$ ถ้า $n$ มีค่าเท่ากันดังนั้นเราจึงไม่สามารถคาดหวังการบรรจบกันได้อย่างสม่ำเสมอ $[0,1)$. ฉันสนใจในขีด จำกัด$\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ถ้ามีอยู่และปริพันธ์ที่เกี่ยวข้องหลายประการ ได้แก่ :
- ไม่ว่าจะเป็น $P(x):=\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ มีอยู่จริงและถ้าเป็นเช่นนั้นมันคืออะไร
- $I_n:=\int_0^1 P_n(x)\,dx$ (ดูเหมือนว่าจะเป็นช่วงของการผสานรวมตามธรรมชาติเนื่องจากเราต้องการหลีกเลี่ยงตัวเลขติดลบและเวอร์ชันดัชนีคู่จะระเบิด $x>1$)
- $I:=\int_0^1 P(x)\,dx$
ฉันคำนวณค่าสองสามค่าแรกของ $I_n$ ด้วยมือ: $$ \left\{\log (2),\log (4)-\frac{1}{2},\frac{1}{27} \left(9+2 \sqrt{3} \pi \right),\frac{5}{2}+\frac{\pi }{9 \sqrt{3}}-\frac{8 \log (2)}{3}\right\} $$จากนั้นฉันก็คำนวณ $20$ค่าโดยใช้ CAS; ลำดับดูเหมือนจะสลับกับค่าคี่ที่เพิ่มขึ้นและค่าคู่ลดลง (ตามที่คาดไว้) ฉันได้$I_{1000}\approx 0.79496$ และ $I_{1001}\approx 0.794376$ดังนั้นฉันจะเดาขีด จำกัด $I$ อยู่ระหว่างนั้น
ฉันเคยเห็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดมาก่อนส่วนใหญ่อยู่ในบริบทของเนื้อหาเบื้องต้นบางอย่างที่ฉันได้อ่านเกี่ยวกับชุดไฮเปอร์เรขาคณิตดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้ผลิตภัณฑ์เหล่านี้ในคำตอบ
คำตอบ
ผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty (x^k+1)^{(-1)^k}$$ แปลงเป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ถ้า $|x| < 1$ เพราะ $$\sum_{k=1}^\infty \log \left((x^k+1)^{(-1)^k}\right) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \log(x^k+1)$$มาบรรจบกัน ค่าสัมประสิทธิ์ชุด Maclaurin มีOEIS ลำดับ A083365 ตามนั้น$P(x) = \psi(x) / \phi(x)$ ที่ไหน $\psi(x)$ และ $\phi(x)$ คือฟังก์ชัน Ramanujan theta