การแสดงอินทิกรัลที่แยกไม่ออกของกลุ่มคำสั่ง 2 "ด้วยมือ"

Question

คำถามนี้เป็นคำถามซ้ำว่าคำถาม 2010 MO

ฉันสนใจที่จะจำแนกคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของ $n$- การแสดงอินทิกรัลมิติของกลุ่มวัฏจักร $C_2$ ของการสั่งซื้อ $2$. เห็นได้ชัดว่าการแทนค่าใด ๆ ของ$C_2$เป็นผลบวกโดยตรงของindecomposableตัวแทนหนึ่ง

ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดี:

ทฤษฎีบท. กลุ่ม$C_2$ มีไอโซมอร์ฟิซึม 3 คลาสของการแสดงอินทิกรัลที่ไม่สามารถย่อยสลายได้:

(1) เล็กน้อย;

(2) การแสดงเครื่องหมาย;

(3) การแทนค่า 2 มิติด้วยเมทริกซ์ $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

ผลที่ได้นี้ถูกระบุไว้ในคำตอบของวิกเตอร์ Protsak ดูเพิ่มเติมคำตอบของทอดด์ Leason

ในความคิดเห็นของเขา Victor Protsak ให้การอ้างอิง เขาเขียนว่า: "เคอร์ติสและไรเนอร์บทที่ 11 เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทในมาตรา 74 ซึ่งแบ่งประเภทของการเป็นตัวแทนแบบอินทิกรัลของกลุ่มลำดับชั้นเอกตามธรรมชาติกรณีนี้ง่ายกว่ามากและสามารถทำได้ด้วยมือ"

คำถาม. วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้น "ด้วยมือ" โดยไม่อ้างอิงหนังสือของเคอร์ติสและไรเนอร์?

แรงจูงใจ:ตอนนี้ฉันกำลังทำงานกับพีชคณิต$\mathbb R$- โทริ. พวกเขาถูกจัดประเภทตามการเป็นตัวแทนของกลุ่ม Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$ซึ่งเป็นกลุ่มของคำสั่งซื้อ $2$. เพื่อให้เข้าใจถึงการจำแนกประเภทที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ที่รู้จักกันดี$\mathbb R$- โทริฉันต้องเข้าใจการจัดประเภทที่รู้จักกันดีของการแสดงอินทิกรัลที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ของ ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.

ฉันถามคำถามพื้นฐานที่ดูเหมือนจะเป็นเรื่องคณิตศาสตร์ StackExchangeแต่ไม่มีคำตอบหรือความคิดเห็นฉันจึงถามที่นี่

Answer 1

ในการคำนวณด้วยโทริจริง Casselman มีการเขียนทฤษฎีบทนี้อย่างดีจากมุมมองที่ไม่ใช่แค่การพิสูจน์ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นโทริที่ไม่สามารถย่อยสลายได้เท่านั้น แต่สมมติว่าคุณได้รับการแสดงนัยที่ชัดเจนของ$\operatorname C_2$ค้นหา / คำนวณการสลายตัวของมันอย่างชัดเจนเป็นตัวแทนทั้งสามนี้

ในความเป็นจริงถ้าคุณ (คุณเป็นผู้อ่านทั่วไปไม่จำเป็นต้องเป็น @MikhailBorovoi) ไม่คุ้นเคยกับผลงานล่าสุดของ Bill Casselman คุณควรตรวจสอบหน้าของเขา http://www.math.ubc.ca/~cass; เขามีความสนใจในการคำนวณจริงมาระยะหนึ่งแล้วในแง่ของสิ่งต่างๆที่สามารถป้อนลงในคอมพิวเตอร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มพีชคณิต ข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่ง อื่น ๆ ได้ที่http://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.htmlรวมถึงตัวอย่างเช่นการคำนวณค่าคงที่โครงสร้างตาม Jacques Titsสิ่งที่เราทุกคนรู้ว่าสามารถทำได้ แต่พวกเราส่วนใหญ่ (อย่างน้อยก็ฉัน!) จะหดตัวลงจากการทำจริงที่นี่มีการจัดวางในลักษณะที่แสดงให้เห็นว่า เพื่อนำไปปฏิบัติจริง

(นอกจากนี้ยังมีบางสิ่งที่ดีเกี่ยวกับกราฟิกทางคณิตศาสตร์ !)