การแสดงเมทริกซ์ของกลุ่มคำสั่งที่ไม่ใช่ฉลาก $p^3$เหรอ?

Question

เมื่อคุณดูที่กลุ่มคำสั่งซื้อ $p^3$ (สำหรับคี่ $p$) มี $2$คนที่ไม่ใช่คน หนึ่งคือกลุ่ม Heisenberg ซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็กของ$C_p \times C_p$ และ $C_p$.

จากการคำนวณบางอย่างกับ GAP ฉันเห็นว่าอีกอันหนึ่งเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็กของ $C_{p^2}$ ด้วย $C_p$.

กลุ่มอื่นนี้สามารถมองว่าเป็นกลุ่มเมทริกซ์ที่คุ้นเคยได้หรือไม่?

---

gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

ในคำว่า 'ไม่' สังเกตว่า$\mathrm{GL}_n(q)$ สำหรับ $q$ พลังของ $p$ ไม่สามารถมีองค์ประกอบของคำสั่งใด ๆ $p^2$ เว้นแต่ $n>p$. ดังนั้น$p$ การขยายขนาดของกลุ่มเมทริกซ์จะต้องเติบโตขึ้น

มันเป็นเรื่องที่คล้ายกันในสาขาที่มีลักษณะเฉพาะไม่ $p$. ๆ$1$การแสดงมิติของกลุ่มมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เคอร์เนล ตัวแทนที่ซื่อสัตย์เท่านั้นที่มีระดับอย่างน้อย$p$.

ดังนั้นกลุ่มนี้จึงไม่มีตัวแทนที่ซื่อสัตย์ในระดับต่ำกว่า $p$ เหนือเขตข้อมูลใด ๆ

แก้ไข: ไม่มีตัวแทนเมทริกซ์ที่สนามใด ๆ แต่มีอยู่ที่แหวน กลุ่มนี้มอบให้โดย$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

ฉันพบสิ่งนี้จากการดูบันทึกของ Keith Conrad ในตอนนี้