การแสดงว่า“ นักเรียนทุกคนผ่านชั้นเรียนมาแล้วอย่างน้อยหนึ่งชั้น” ใน FOL

Question

คำถามของฉัน:

แสดงวลีนี้ในภาษาลำดับที่หนึ่ง: "นักเรียนทุกคนผ่านชั้นเรียนมาแล้วอย่างน้อยหนึ่งชั้น"

นี่คือคำตอบของครู:

เรากำหนด $S(x)$ เป็น "วัตถุ $x$ เป็นนักเรียน ", $C(x)$ เป็น "วัตถุ $x$ เป็นชั้นเรียน "และ $P(x,y)$ เป็นเพรดิเคตลอจิก - สัญลักษณ์ซึ่งแปลว่า "นักเรียน $x$ ผ่านชั้นเรียนแล้ว $y$". ดังนั้นเราจึงมี:

$\forall x (S(x) \rightarrow \exists y [C(y) \land P(x,y)])$.

คำถามของฉันคือสิ่งที่เกี่ยวกับ: "$\forall x S(x) \exists y ( C(y) \land P(x,y))$". ทำไมอันที่สองถึงผิด?

Answer 1

บางทีคุณอาจเคยอ่านบางเรื่องเช่น

$\forall x \in \mathbb{N} P(x)$

และพยายามใช้รูปแบบเดียวกันกับประโยคที่เป็นปัญหาด้วย $x \in \mathbb{N}$ สอดคล้องกับ $S(x)$ และ $P(x)$ ถึง $\exists y ...$.

แต่ข้างต้นไม่ได้พูดถึงสูตรลำดับที่หนึ่งอย่างเคร่งครัด แต่เป็นเพียงคำย่อของ

$\forall x (x \in \mathbb{N} \to P(x))$

และโดยปกติจะใช้กับงบสมาชิกชุดเท่านั้น $x \in Y$ไม่ใช่เพรดิเคตเช่น $S(x)$.

หากคุณยืนยันสองสูตร $S(x)$, $\exists y ...$ จากนั้นด้วยไวยากรณ์ของตรรกะเพรดิเคตคุณต้องมีความเชื่อมโยงระหว่างกันดังนั้นสิ่งทั้งหมดจึงกลายเป็นสูตรอื่นและสิ่งที่ขาดหายไปในข้อเสนอของคุณ

---

นอกจากนี้ตามที่กล่าวไว้ในความคิดเห็น

$\forall x S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y))$

คือไม่ได้วิธีที่ถูกต้อง อาจารย์ของคุณคงเขียน

$\forall x (S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y)))$

- $\forall x$ ต้องอยู่ในช่วงความหมายไม่ใช่แค่ไฟล์ $S(x)$.