การสนทนาของ Master Theorem ของ Ramanujan เป็นจริงหรือไม่?
Master Theorem ของ Ramunajanกล่าวว่าหากเป็นฟังก์ชันที่มีมูลค่าซับซ้อน$f(x)$ มีการขยายตัวของแบบฟอร์ม
$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$
จากนั้นการแปลง Mellinของ$f(x)$ ให้โดย
$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$
ที่นี่ $\varphi(s)$ เป็นฟังก์ชันบางอย่าง (กล่าวว่าวิเคราะห์หรือเชิงบูรณาการ)
แล้วการสนทนานี้ล่ะ? บอกเลยว่าเรารู้ว่าการแปลงร่างของเมลลิน$f(x)$ เท่ากับ $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$แล้วเป็นความจริงหรือไม่ $f(x)$ มีการขยายตัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดในรูปแบบที่ระบุข้างต้นหรือไม่?
ฉันไม่พบอะไรเกี่ยวกับคำถามนี้ใน Wikipedia หรือที่อื่น
คำตอบ
สำหรับการสนทนาบางส่วนกับ Master Theorem โปรดทราบว่าถ้า $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ แล้ว $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ เสาของ $\Gamma$ ง่ายและเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกดังนั้นส่วนที่เหลือจึงเป็นจำนวนเต็ม $-t\le0$ คือ $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ ดังนั้นถ้า $\varphi$ ไม่มีความเป็นเอกฐานและไม่มีรากที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกจากนั้นทฤษฎีบทตกค้างจะให้ $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ ซึ่งเป็นคำสั่งเดิม
ในรายงานรายไตรมาส1ของ Berndt Ramanujanมีข้อสังเกตว่า
ในส่วนสุดท้ายของรายงานฉบับแรกรามานุจันได้รับการขยายบางอย่างสำหรับฟังก์ชันทั้งสี่โดยสมมติว่าทฤษฎีบทสนทนาประเภทหนึ่งกับ Master Theorem มีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขากำหนดอนุกรมกำลังสำหรับ integrand จากค่าของอินทิกรัล ในความเป็นจริงการสนทนาของ Ramanujan กับ Master Theorem เป็นไปตามสูตรการผกผันสำหรับการแปลง Mellin แม้ว่ารามานุจันจะดำเนินไปอย่างเป็นทางการ แต่ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เขาได้รับนั้นถูกต้องแน่นอน
(เน้นเหมือง)
สี่ฟังก์ชั่นที่พิจารณาคือ
$\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ ที่ไหน $p_*$ เป็นรากบวกของ $p^2-p-x$, การให้ $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;
$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$, การให้ $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;
$\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ ที่ไหน $a\ge0$, $n>0$ และ $x$ แก้ $\log x=ax$, การให้ $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;
$\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ ที่ไหน $x$ แก้ $aqx^p+x^q=1$ ด้วย $a>0$, $0<q<p$ และ $0<pr<n$, การให้ $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$.
เห็นได้ชัดว่าในทุกกรณีเหล่านี้ $\varphi$ ไม่ใช่การวิเคราะห์ในระนาบซ้ายทั้งหมด แต่ฉันสงสัยว่ามีการยกเลิกเงื่อนไขแกมมาด้วย $\Gamma(-s)$ อาจเป็นสาเหตุที่ยังคงมีตัวตนอยู่
ข้อมูลอ้างอิง
[1] Berndt, BC (1984). รายงานรายไตรมาสของรามานุจัน แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน 16 (5): 449-489