การสรุป Pfaffian: ครอบครัวของเมทริกซ์ที่ดีเทอร์มิแนนต์เป็นพลังที่สมบูรณ์แบบของพหุนามในรายการ

Question

ปล่อย $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและปล่อยให้ $M = (m_{ij})$ เบ้ $2n \times 2n$เมทริกซ์ นั่นคือเรามี$m_{ij} = -m_{ji}$ สำหรับ $1 \leq i, j \leq 2n$. นั้นก็เป็นที่รู้จักกันดีว่า

$$\det M = p(M)^2,$$

ที่ไหน $p$ เป็นพหุนามในรายการ $m_{ij}$. พหุนาม$p(M)$เรียกว่าPfaffianของ$M$.

มีลักษณะทั่วไปของสิ่งนี้หรือไม่? นั่นคือมีครอบครัวตามธรรมชาติของ$kn \times kn$ เมทริกซ์ที่ดีเทอร์มิแนนต์สมบูรณ์แบบ $k$- อำนาจของพหุนามในรายการ?

Answer 1

ตัวอย่างที่ดีของสิ่งนี้มอบให้โดย Clifford algebras: If $V$ คือปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีรูปแบบกำลังสอง $q:V\to\mathbb{R}$พีชคณิต $Cl(q)$ คือพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของ $V$ อยู่ภายใต้กฎการคูณ $x^2 = -q(x)$. ถ้า$M$ คือ $Cl(q)$- โมดูลพูด $M\simeq\mathbb{R}^m$จากนั้นเรามีการรวมเข้าด้วยกัน $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ และพหุนามลักษณะของ $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ เป็นสิ่งที่เห็นได้ง่าย $(t^2+q(x))^{m/2}$ดังนั้นเราจึงมี $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ สำหรับทุกอย่าง $x\in V$.

ตัวอย่างเช่นถ้า $V$ คือ $\mathbb{R}^8$ ด้วยรูปแบบกำลังสองแบบยุคลิดมาตรฐาน $q$แล้ว $Cl(q)$ isomorphic ถึง $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$ดังนั้นเราจึงสามารถทำได้ $M=\mathbb{R}^{16}$ (และทุกๆ $Cl(q)$- โมดูลคือ $\mathbb{R}^{16k}$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$). ดังนั้นในกรณีนี้เรามี$\det(x) = p(x)^8$ ที่ไหน $p(x) = |x|^2$ สำหรับทุกอย่าง $x\in V$.

โดยทั่วไปเมื่อ $V\simeq\mathbb{R}^n$ และ $q_n:V\to\mathbb{R}$ เป็นสิ่งที่ไม่ก่อให้เกิดขึ้นเป็นมิติของความไม่สำคัญน้อยที่สุด $Cl(q_n)$- โมดูลเติบโตขึ้น (โดยประมาณ) แบบทวีคูณด้วย $n$ดังนั้นน้อยที่สุด $m$ เติบโตแบบทวีคูณด้วย $n$. สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ามีตัวอย่างที่ 'ไม่สามารถแก้ไขได้' ที่ไม่สำคัญกับ$\det(x) = p(x)^k$ สำหรับ $k$ มีขนาดใหญ่โดยพลการและไม่มีขอบเขตที่เป็นไปได้ $n$ ของพื้นที่ย่อย $V\subset\mathrm{End}(M)$.

หมายเหตุ : กำหนดพื้นที่ย่อยเชิงเส้น$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ ดังนั้นจึงมีพหุนาม $p:V\to\mathbb{R}$ และจำนวนเต็ม $k = m/\deg(p)>1$ ดังนั้น $\det(x) = p(x)^k$เราว่าทั้งคู่ $(V,\mathbb{R}^m)$คือลดลงไม่ได้ถ้าไม่มีสเปซขี้ปะติ๋ว$M\subset\mathbb{R}^m$ ดังนั้น $x(M)\subset M$ สำหรับทุกอย่าง $x\in V$ และ $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ สำหรับทุกอย่าง $x\in V$โดยที่จำเป็น $j = (\dim M)/\deg(p)$.

ปัญหาที่น่าสนใจสำหรับพื้นที่ย่อยเชิงเส้น $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ ซึ่ง $\det$ฟังก์ชันเป็นพลังที่สูงกว่าของพหุนามบน $V$ คือการจัดประเภทของมิติสูงสุดที่ไม่สามารถวัดได้สำหรับขนาดที่กำหนด $m$.