การทำให้เป็นจริงของกลุ่ม metacyclic ของคำสั่ง 21

Question

ฉันต้องการทำความเข้าใจกับกลุ่มคำสั่งซื้อที่ไม่ใช่ของฉลาก $pq$ (ด้วย $q | p-1$) ดีกว่า. สำหรับ$q=2$ นี่คือกลุ่มไดฮีดรัลที่ฉันพอใจ

แต่ละ $pq$ฉันรู้ว่ามีหนึ่งในกลุ่มนี้ เป็นผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็ค โครงสร้าง Sylow คือ$n_q = p$ และ $n_p = 1$. ฉันไม่ค่อยรู้เรื่องพวกนี้

ฉันคำนวณคำสั่งกลุ่มที่น่าสนใจต่อไปนี้ 21, 39, 55, 57, 93 และฉันจะถามเกี่ยวกับ 21

กลุ่ม nonabelian ลำดับที่ 21 สมมาตรของอะไร?

ฉันได้ศึกษาสิ่งนี้และไม่พบคำตอบที่ดี ฉันไม่คิดว่ามันเป็นความสมมาตรของการหมุนของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือปริศนาบิดใด ๆ ฉันเคยเห็นว่าเครื่องบิน Fano มีเส้น 7 เส้นและ 3 จุดในแต่ละเส้น แต่ฉันไม่รู้ว่ามันสามารถใช้ได้ไหม กลุ่มเหล่านี้ทำหน้าที่ตามธรรมชาติในการออกแบบบางประเภทหรือไม่? หรือมีวิธีที่ดีกว่าในการทำความเข้าใจพวกเขาในระดับที่ลึกขึ้น? ขอบคุณ!

Answer 1

ทุกสนาม $F$ มีการเปลี่ยนแปลงกลุ่มหนึ่ง

$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$

ทำหน้าที่ในบรรทัด Affine $\mathbb{A}^1(F)$ (ซึ่งเป็นชุดเพียง $F$). นี่คือกลุ่มของ$2 \times 2$ เมทริกซ์

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$

เหนือสนามที่ จำกัด $F = \mathbb{F}_q$ เราได้ครอบครัวของ nonabelian (ยกเว้นเมื่อ $q = 2$) กลุ่มคำสั่งซื้อ $q(q - 1)$ ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงที่สร้างขึ้นจากการกระทำของ $\mathbb{F}_q^{\times}$ บน $\mathbb{F}_q$โดยการคูณ นอกจากนี้เราสามารถพิจารณากลุ่มย่อยของกลุ่มนี้ได้โดย จำกัด$a$ ไปยังกลุ่มย่อยของ $F^{\times}$. กลุ่มทั้งหมดที่คุณสนใจสามารถสร้างได้ด้วยวิธีนี้

กลุ่มเฉพาะที่คุณสนใจเกิดขึ้นเมื่อ $q = 7$ และ $a$ ถูก จำกัด ให้อยู่ในกลุ่มย่อย $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ ขององค์ประกอบสี่เหลี่ยมของ $\mathbb{F}_7^{\times}$. มันเป็นกลุ่ม Frobeniusและตามหน้านั้นมันยังทำหน้าที่บนเครื่องบิน Fano