การตีความและหน่วยขององค์ประกอบความแปรปรวนร่วมในความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน
ความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนคือ $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ ที่ไหน $\boldsymbol{\Sigma}$ คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่มีองค์ประกอบเส้นทแยงมุม $\sigma^2_{n}$ เป็นผลต่างผลตอบแทนของสินทรัพย์แต่ละรายการและมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นแนวทแยงเป็นคู่ของสินทรัพย์ที่ชาญฉลาด $\sigma_{n,\neg n}$
การตีความองค์ประกอบคืออะไร $\sigma_{1,2}$ ใน $\boldsymbol{\Sigma}$และคุณจะอธิบายหน่วยของมันอย่างไร?
ถ้า $\sigma_{1,2}=0.1$ จะพูดต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่?
"การเคลื่อนไหวในสินทรัพย์ 1 ผลตอบแทนโดยเฉลี่ยแปรผันร่วมกับการเคลื่อนไหวของผลตอบแทนของสินทรัพย์ 2 โดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10% และในทางกลับกัน"
คำตอบ
ปัญหาการตีความและหน่วยคือการขาดคำตอบที่เข้าใจง่ายเป็นเหตุให้ quants / econometricians ฯลฯ มักจะอายที่จะพูดเกี่ยวกับ covariances มากเกินไป [แม้ว่าจะมีความจำเป็นอย่างยิ่งก็ตาม และใช้บ่อย]. ดังนั้นหากมีการตีความสิ่งใดก็ตามที่เกี่ยวข้องกับโควาเรียสนับประสาอะไรกับการอธิบายค่าดีฟอลต์มักจะแสดงในรูปของความสัมพันธ์ซึ่งมีหน่วยที่เข้าใจง่าย: ขอบเขต [-1,1] ด้วย 0 = ความเป็นอิสระเป็นต้น
คร (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = คร (1,2) * sd (1) * sd (2)
ดังนั้น "หน่วย" ในที่นี้จึงเป็นการผสมผสานผลิตภัณฑ์ของหน่วยวัด 3 หน่วยโดยแต่ละหน่วยมีหน่วยของตัวเอง: ค่าความผันผวน 2 หน่วยและหน่วยวัดความสัมพันธ์ที่มีขอบเขต ดังนั้นจึงมีอยู่ แต่ขาดคำอธิบายที่เข้าใจง่าย
สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดสามารถทำได้คือการแสดงความแปรปรวนร่วมเป็นการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของความแปรปรวนของพอร์ตการลงทุนต่อการเปลี่ยนแปลงหน่วยในผลิตภัณฑ์ของ Weights 1 & 2 ซึ่งยังคงไม่สง่างามอย่างมากเพื่อให้สุภาพ ;-)
โปรดจำไว้ว่า OLS เบต้าแบบดั้งเดิมสามารถแสดงเป็น:
เบต้า (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
ดังนั้นการเปลี่ยนแปลง +1 ใน Asset2 จึงมี +0.1 หารด้วยผลต่างของมันใน Asset1 ซึ่งเหมือนกับการบอกว่า +1 sigma move ใน Asset2 มี 0.1 หารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานบน Asset1 ซึ่งเหมือนกับการพูด (โดยที่ Z = 1 คือ 1 sigma shock):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = คร (1,2)!
ดังนั้นวิธีที่จะสร้างข้อความที่คุณพยายามทำให้เป็นธรรมชาติข้างต้นยังคงเป็นการแปลความสัมพันธ์ร่วมกันของคุณให้เป็นความสัมพันธ์แบบไม่ใช้หน่วย (เข้าใจง่าย) ซิกม่าหนึ่งตัวใน 1 หรือ 2 จะมีเอฟเฟกต์ Cor (1,2) เล็กน้อยต่ออีกอัน
อย่างไรก็ตามคุณเข้าใกล้สิ่งนี้คุณจำเป็นต้องประมวลผลความแปรปรวนร่วมผ่านเมตริกเพิ่มเติมเสมอ (โดยมีหน่วยของตัวเองไม่ว่าจะเป็นผลตอบแทนสัมบูรณ์ผลตอบแทนที่ปรับตามปริมาตรหรือน้ำหนัก) เพื่อสร้างผลลัพธ์ที่อธิบายได้อย่างเข้าใจง่ายที่นี่ สูตรw.Cov.wแบบดั้งเดิมมีประสิทธิภาพในการทำนายความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน แต่เมื่อต้องตีความและอธิบายก็ล้มเหลวครั้งใหญ่ ด้วยเหตุนี้สิ่งพิมพ์จึงแสดงเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องตามความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ทั้งสองจะให้ผลลัพธ์ / การคาดการณ์เดียวกันกับคุณเสมอ ด้วยการเลือกระหว่างทั้งสองคำถามในท้ายที่สุดคือการทำนายและการตีความ (เช่นการนำเสนอในลักษณะ)
ดังนั้นให้เราสมมติว่าพอร์ตโฟลิโอประกอบด้วยหุ้นกู้หรือพันธบัตรส่วนลดงวดเดียว สิ่งนี้น่าสงสัยสำหรับตราสารทุนเนื่องจาก$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ และ $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$หากคุณเพิกเฉยต่อผลกระทบของเงินปันผล นั่นทำให้ส่งคืนการกระจายผลิตภัณฑ์ของการแจกแจงอัตราส่วนสองแบบ โมเดลเช่น CAPM จะหลีกเลี่ยงปัญหานี้โดยสมมติว่าทราบพารามิเตอร์ทั้งหมดและไม่มีใครทำการประมาณค่าใด ๆ ภายใต้สมมติฐานที่ไม่รุนแรงผลตอบแทนเหล่านี้จะไม่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่กำหนดไว้แม้ในพื้นที่บันทึก
อย่างไรก็ตามสำหรับคำถามของคุณสิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าพารามิเตอร์เช่น $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$คิดว่าเป็นจุดคงที่ในทฤษฎีบ่อย โมเดลเช่น CAPM ไม่ทำงานในช่องว่างแบบเบย์เนื่องจากพารามิเตอร์เป็นตัวแปรสุ่ม
ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของคุณหน่วยของ $\sigma_{i,j}$มีการลงนามในทิศทางผลตอบแทนส่วนเกิน / การขาดดุลจากความคาดหวังร่วมกัน อาจคิดได้ว่าเป็นพื้นที่ที่มีทิศทาง
การตีความตามปกติจะถูกปรับขนาดตามความแปรปรวนเสมอโดยสังเกตว่า $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: ฉันอ่านเพิ่มเติมและมันก็เป็นแบบนี้ (ไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้เกี่ยวกับ CAPM หรือแสดงความคิดเห็นในการสนทนาปัจจุบันของคุณกับ Dave) สมมติว่าคุณมี$\sigma_{(1,2)}$ ซึ่งแสดงถึงความแปรปรวนร่วม (ของผลตอบแทน) ของหุ้น 1 และหุ้น 2 แสดงถึง $x$ เป็นผลตอบแทน (ในตัวอย่าง) ของหุ้น 1 และ $y$ เป็นผลตอบแทน (ในตัวอย่าง) ของหุ้น 2.
ขั้นตอนแรกในการตีความคือการดำเนินการ $\sigma_{(1,2)}$ และหารด้วยความแปรปรวนตัวอย่างของผลตอบแทนของหุ้น 1 เรียกสิ่งนี้ $\beta_{(1,2)}$. จากนั้นเมื่อคุณทำสิ่งนี้$\beta_{(1,2)}$ สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ (ไม่ใช่การสกัดกั้นอีกอันหนึ่ง) ของการถดถอยอย่างง่ายของผลตอบแทนของหุ้น 1 เทียบกับผลตอบแทนของหุ้นของ stock_2 โดยที่ผลตอบแทนของหุ้น 2 คือการตอบสนอง ($y$) และผลตอบแทนของหุ้น 1 เป็นตัวทำนาย ($x$).
ความจริงที่ว่า $\sigma_{(1,2)}$คือ 0.1 ไม่ได้มีความหมายมากนักเพราะต้องหารด้วยความแปรปรวนตัวอย่างของผลตอบแทนหุ้นของหุ้น 1 เพื่อให้มีการอธิบายการตีความการถดถอย แน่นอนว่าหากผลต่างตัวอย่างของผลตอบแทนของหุ้น 1 เกิดขึ้นเป็น 1.0 เราสามารถตีความความแปรปรวนร่วมเป็นจำนวนเงินโดยประมาณที่ผลตอบแทนของหุ้น 2 เพิ่มขึ้นสำหรับแต่ละหน่วยที่เพิ่มขึ้นในผลตอบแทนของหุ้น 1
โปรดทราบว่าความขัดแย้งที่ดูเหมือนว่าฉันอ้างถึงในโพสต์เดิมของฉัน (ซึ่งทำให้ฉันสับสน) ไม่มีอยู่จริงเพราะถ้าเราพลิกการถดถอยและทำให้หุ้น 1 ส่งคืน (x) การตอบสนองและผลตอบแทนของสต็อก 2 (y) เป็นตัวทำนาย จะต้องหารความแปรปรวนร่วม $\sigma_{(1,2)}$โดยความแปรปรวนตัวอย่างของผลตอบแทนของหุ้น 2 (y) แทนที่จะเป็นความแปรปรวนตัวอย่างของผลตอบแทนของหุ้น 1 (x) ดังนั้นจึงไม่มีความไม่สอดคล้องกันในคำจำกัดความ ฉันหวังว่านี่จะทำให้กระจ่าง
นอกจากนี้เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ดูเหมือนจะไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่างความแปรปรวนร่วมกับ R ^ 2 ของการถดถอยซึ่งฉันคิดผิดว่าเป็นกรณีนี้ ฉันขอโทษสำหรับความสับสนที่นั่น