การตรวจสอบว่าฟังก์ชันจริงต่อเนื่องในช่วงใดที่เป็นโมโนโทนิก [ปิด]

Question

ฉันกำลังทบทวนข้อสอบ Real Analysis 1 ของฉัน และฉันพบทฤษฎีบทนี้:

อนุญาต$f : I \to \mathbb R$เป็นฟังก์ชัน โดยที่$I\subseteq\mathbb R$เป็นช่วงเวลา สมมติว่า$f$เป็นโมโนโทนิกใน$I$แล้วข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่า:

• $f$มีความต่อเนื่องใน$I$
• $f(I)$เป็นช่วงเวลา

ฉันเกือบจะทำข้อสอบนี้เสร็จแล้ว แต่ฉันไม่เคยใช้การสมมูลนี้ในทางปฏิบัติเลย คำถามของฉันคือ คุณช่วยยกตัวอย่างที่การศึกษาภาพของช่วงเวลานั้นง่ายกว่าหรือมีประโยชน์มากกว่าการตรวจสอบลิมิตของฟังก์ชันโดยตรงได้ไหม เพื่อให้รู้ว่าเมื่อใด ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง?

Answer 1

วิธีหนึ่งในการแสดงว่าฟังก์ชันต้นเสียงเป็นแบบต่อเนื่องคือการแสดงว่าฟังก์ชันนี้ไม่ลดลงและมีรูปภาพ$[0,1]$.