การวางแนวของท่อร่วมแบบเรียบที่เชื่อมต่อเข้า $\mathbb{R}^n$ ด้วยแผนภูมิเดียว
ฉันกำลังศึกษาเกี่ยวกับ Zorich, Mathematical Analysis II, 1st ed หน้า. 174-175. หลังจากได้อธิบายอย่างถูกต้องแล้วว่าการวางแนว (คลาสการเทียบเท่า) ถูกกำหนดไว้อย่างไรสำหรับพื้นผิว k มิติที่เรียบใน$\mathbb {R} ^ n$ ที่สามารถอธิบายได้ด้วยแผนที่เดียวย้ายไปยังกรณีทั่วไปโดยการกำหนดความหมายของ:
- แผนภูมิที่สอดคล้องกัน
- แผนที่ปรับทิศทาง
- คลาสความเทียบเท่าสำหรับการปรับทิศทางแผนที่ (การวางแนวที่เป็นไปได้ของพื้นผิว)
เมื่อทำเช่นนี้แล้วเขาระบุโดยไม่มีข้อพิสูจน์ว่าพื้นผิว k มิติที่เรียบเชื่อมต่อกันสามารถมีทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทาง จากคำกล่าวนี้เขาสรุปได้ทันทีว่าในการกำหนดทิศทางบนพื้นผิวประเภทนี้ไม่จำเป็นต้องแสดงแผนที่ทั้งหมดของแผนภูมิที่สอดคล้องกัน แต่ก็เพียงพอที่จะแสดงแผนภูมิเดียว
ฉันพยายามพิสูจน์ว่าทำไม แต่ทำไม่ได้ ฉันสันนิษฐานโดยไร้สาระว่าฉันมีแผนที่สองตำแหน่งที่มีการวางแนวที่แตกต่างกันซึ่งสร้างจากแผนภูมิที่สอดคล้องกันแบบคู่ซึ่งมีแผนภูมิทั่วไป$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
แต่จากตรงนี้ฉันไม่สามารถเข้าถึงความไร้สาระได้ ใครสามารถช่วยฉันได้บ้าง?
คำตอบ
ฉันจะใช้คำศัพท์เฉพาะ "มากมาย" แทน "พื้นผิว" เนื่องจาก "พื้นผิว" มักจะหมายถึง 2 มิติ
ขอฉันใช้สัญกรณ์ $M$ สำหรับรายการที่มีปัญหา
คุณต้องใช้ประโยชน์จากสมมติฐานที่หลากหลาย $M$เชื่อมต่ออยู่ เนื่องจากแมนิโฟลด์เชื่อมต่อกับพา ธ ภายในเครื่องคุณสามารถใช้ทฤษฎีบทที่เชื่อมต่อกับพื้นที่ที่เชื่อมต่อกับพา ธ ภายในคือพา ธ ที่เชื่อมต่อ
พิจารณาแผนภูมิทั่วไป $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ ใน $A_1 \cap A_2$และแก้ไขจุดฐาน $p \in U_1$.
ตอนนี้ฉันจะพิสูจน์โดยตรงว่าแผนภูมิใด ๆ ใน $A_1$ และแผนภูมิใด ๆ ใน $A_2$ มีความสอดคล้องกัน ณ จุดใด ๆ ของการทับซ้อนกัน
พิจารณาใด ๆ $x \in M$และเลือกแผนภูมิ $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ ใน $A_1$ และ $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ ใน $A_2$, ดังนั้น $x \in U_I \cap U'_J$. เราต้องแสดงให้เห็นว่า$\varphi_I$ และ $\varphi'_J$ มีความสอดคล้องตรงประเด็น $x$.
การใช้การเชื่อมต่อเส้นทางของท่อร่วมไอดี $M$เลือกเส้นทางต่อเนื่อง $\gamma : [0,1]$ ดังนั้น $\gamma(0)=p$ และ $\gamma(1)=x$. ตั้งแต่ชุด$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ ปก $M$ภาพผกผันของพวกเขา $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ ปก $[0,1]$. การใช้ Lebesgue Number Lemma เราสามารถเลือกจำนวนเต็มได้$N \ge 1$และย่อยสลาย $[0,1]$ เป็นช่วงย่อย $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, ดังนั้น $\gamma(I_m)$ เป็นส่วนย่อยของจุดตัดจุดใดจุดหนึ่ง $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
เรารู้ว่า $\varphi_{i(1)}$ และ $\varphi'_{j(1)}$ ทั้งสองมีความสอดคล้องกันที่ $\gamma(0)=p$เนื่องจากทั้งสองมีความสอดคล้องกับ $\varphi_1$. พิจารณาเส้นทาง$\gamma \mid I_1$ และปล่อยให้ $t \in I_1 = [0,1/N]$ แตกต่างจาก $0$ ถึง $1/N$. เช่น$t$ แตกต่างกันไปดีเทอร์มิแนนต์ของอนุพันธ์ของแผนที่ที่ทับซ้อนกันของสองแผนภูมิ $\varphi_{i(1)}$ และ $\varphi'_{j(1)}$ แตกต่างกันไปอย่างต่อเนื่องมันไม่ใช่ศูนย์ทุกที่และเป็นบวกที่ $t=0$ดังนั้นจึงเป็นบวกที่ $t=1/N$. สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า$\varphi_{i(1)}$ และ $\varphi'_{j(1)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(1/N)$.
ตอนนี้เราทำการพิสูจน์การเหนี่ยวนำ: สมมติโดยการเหนี่ยวนำว่า $\varphi_{i(m)}$ และ $\varphi'_{j(m)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(m/N)$เราพิสูจน์ว่า $\varphi_{i(m+1)}$ และ $\varphi'_{j(m+1)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma((m+1)/N)$. ตั้งแต่$\varphi_{i(m)}$ และ $\varphi_{i(m+1)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(m/N)$และตั้งแต่นั้นมา $\varphi'_{j(m)}$ และ $\varphi'_{j(m+1)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(m/N)$ก็เป็นไปตามนั้น $\varphi_{i(m+1)}$ และ $\varphi'_{j(m+1)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(m/N)$. ตอนนี้การพิสูจน์ยังคงดำเนินต่อไปเช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้าโดยใช้ความต่อเนื่องของดีเทอร์มีแนนต์ของอนุพันธ์ของแผนที่ที่ทับซ้อนกันของสองแผนภูมิ$\varphi_{i(m+1)}$ และ $\varphi'_{j(m+1)}$ ที่ $\gamma(t)$, เช่น $t \in I_{m+1}$ แตกต่างกันไป $m/N$ ถึง $(m+1)/N$และความสอดคล้องของแผนภูมิเหล่านั้นที่ $\gamma(m/N)$เพื่ออนุมานความสอดคล้องที่ $\gamma((m+1)/N)$. เสร็จสิ้นขั้นตอนการเหนี่ยวนำ
เพื่อให้การพิสูจน์สมบูรณ์เราได้แสดงให้เห็นแล้ว $\varphi_{i(N)}$ และ $\varphi'_{j(N)}$ มีความสม่ำเสมอที่ $\gamma(N/N)=x$. เราก็รู้เช่นกัน$\varphi_I$ สอดคล้องกับ $\varphi_{i(N)}$และ $\varphi'_J$ สอดคล้องกับ $\varphi'_{j(N)}$ ที่ $x$. ดังนั้น,$\varphi_I$ และ $\varphi'_J$ มีความสม่ำเสมอที่ $x$.
ปล่อย $M$ เป็นของคุณ $k$- พื้นผิวมิติที่ระบุไว้ในแผนภูมิ $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ ดังนั้น $\omega$ไม่หายไปในทุกจุด เป็นไปได้ตั้งแต่$M$ เป็นเชิง $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ ที่ไหน $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ และ $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นไม่หายไป เนื่องจากแผนภูมิมีความสอดคล้องกันทั้งหมด$g_i$เป็นบวกหรือลบทั้งหมด สมมติว่าไฟล์$g_i$เป็นบวก
ตอนนี้คุณมีชาร์ตแล้ว $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ ก่อนที่เราจะได้รับ $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ และ ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. ด้วยตรรกะเดียวกันกับข้างบนเราจะได้รับอย่างใดอย่างหนึ่ง$\{g_1, h_j \}_j$ล้วนเป็นฟังก์ชันเชิงบวกหรือเชิงลบทั้งหมด แต่ตั้งแต่$g_1$ เป็นบวกเราได้รับทั้งหมด $h_j$เป็นบวก ดังนั้นคุณจะได้รับการวางแนวเดียวกัน