ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์พลังงานจุดศูนย์และเลขควอนตัม n

Jan 09 2021

พลังงานของออสซิลเลเตอร์ควอนตัมฮาร์มอนิกจะได้รับเป็น

\ เริ่มต้น {สมการ} E_ {qho} = \ left (n + \ frac {1} {2} \ right) \ hbar \ omega, \; \; \; \; \; n = 0,1,2,3, ... \ tag {1} \ end {สมการ}

ฉันเข้าใจผลของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กที่ไม่อนุญาตให้อะตอมหยุดนิ่งแม้จะอยู่ที่ $0$ K. ความไม่แน่นอนนี้เป็นสาเหตุที่ทำให้พลังงานบางส่วนครอบครองโดยอะตอมที่ $0$K - พลังงานจุดศูนย์ (ZPE) ข้อความส่วนใหญ่แนะนำ ZPE โดยสังเกตว่าด้วย$n = 0$ ยังคงมีพลังงานที่เหลืออยู่เท่ากับ $\frac{1}{2}\hbar\omega$.

คือ $n$เพียงตัวเลข? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีวิธีการอย่างไร$n = 0$ จะทำอะไรกับอุณหภูมิ?

คำตอบ

10 lepmueller Jan 09 2021 at 02:00

พลังงานจุดศูนย์ไม่มีความสำคัญที่นี่เนื่องจากคุณสามารถเลือกพลังงานอ้างอิงของคุณได้อย่างอิสระคุณสามารถเปลี่ยนพลังงานแฮมิลตันของคุณได้โดย $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$และฟิสิกส์ของระบบจะยังคงเหมือนเดิม (ฟังก์ชันคลื่นจะเหมือนเดิม) เนื่องจากฟังก์ชันของคลื่นนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันเดลต้าที่อยู่ที่ศูนย์ (เหมือนในกลศาสตร์คลาสสิก) แต่จะกระจายออกไปมากกว่านี้คุณสามารถตีความสิ่งนี้ได้เช่นอะตอมของคุณยังคงสั่นอยู่เมื่ออยู่ในสถานะเฉพาะของแฮมิลตัน

เกี่ยวกับคำถามของคุณ: ใช่ $n$เป็นเพียงตัวเลขที่มีไว้เพื่อระบุสถานะของพลังงานจากต่ำสุดไปสูงสุด อุณหภูมิจะเล่นในทางอ้อมเท่านั้น ในการกำหนดอุณหภูมิคุณต้องกำหนดชุดระบายความร้อน (คุณต้องมีมากกว่าหนึ่งอนุภาคเพื่อให้ทำได้อย่างถูกต้อง) ด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่นที่เกี่ยวข้อง$\rho$. ตัวเลือกทั่วไปสำหรับสิ่งนี้มอบให้โดย$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$ ที่ไหน $|i\rangle$ แสดงถึงสถานะเฉพาะของพลังงานและ $E_i$ ค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานที่สอดคล้องกัน (ในกรณีนี้สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก) $T$ คืออุณหภูมิ $k$เป็นเพียงค่าคงที่ คุณสามารถตีความ (คล้ายกับค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของฟังก์ชันคลื่น) ว่าปัจจัยนั้น$e^{-E_{i}/kT}/z$ คือความน่าจะเป็นที่จะอยู่ในสถานะ $|i\rangle$. คุณจะเห็นได้ว่าเมื่อ$T\rightarrow 0$เฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานต่ำสุดเท่านั้นที่จะยังคงอยู่ (ค่าสัมประสิทธิ์ใด ๆ ที่สูงกว่า $E_i$- มูลค่าจะหายไปเร็วขึ้น) จากสิ่งนี้สามารถหักออกได้สำหรับระบบทั่วไป (ไม่ใช่แค่ตัวอย่างฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ของคุณ) ระบบจะอยู่ในสถานะพลังงานต่ำสุดเมื่อ$T\rightarrow 0$ (ตราบเท่าที่คุณมีชุดระบายความร้อน)

6 TristanMaxson Jan 09 2021 at 01:51

จำนวนควอนตัม n แสดงถึงระดับพลังงานที่แตกต่างกันที่กำหนดโดยฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์

$\mathbf{n=0}$ไม่สอดคล้องกับอุณหภูมิที่กำหนด แต่การยึดครองที่สัมพันธ์กับระดับพลังงานอื่นจะสอดคล้องกับอุณหภูมิที่กำหนด ในขณะที่ระบบมีอุณหภูมิสูงขึ้นระดับพลังงานที่สูงขึ้นจะถูกครอบครองในจำนวนที่มากขึ้น ในทำนองเดียวกันที่ 0 K มีข้อกำหนดให้ครอบครองเฉพาะระดับพลังงานต่ำสุดเท่านั้น

5 NikeDattani Jan 09 2021 at 02:56

คือ $n$ เพียงตัวเลข?

$n$เป็นตัวเลข เป็นเพียงตัวเลขหรือไม่? มันเป็นตัวเลขควอนตัมซึ่งหมายความว่ามันติดป้ายกำกับ$n^{\textrm{th}}$ ระดับพลังงานที่น่าตื่นเต้นของระบบ (เช่น $(n+1)^{\textrm{th}}$ ค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของ Hamiltonian ของระบบด้วย $n=0$สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุด$n=1$สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองเป็นต้น

ถ้าเป็นเช่นนั้นจะทำอย่างไร $n = 0$ มีอะไรเกี่ยวข้องกับอุณหภูมิ?

เมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบที่มีศักย์ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์มักจะได้รับในแง่ของแฮมิลตัน $H$ โดย:

\ เริ่มต้น {สมการ} \ rho = \ frac {e ^ {- \ beta H}} {\ textrm {tr} \ left (e ^ {- \ beta H} \ right)}, ~~~~~~~~ \ beta \ equiv \ frac {1} {k_BT} \ tag {1} \ label {eq: boltzmann} \ end {สมการ}

เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ความหนาแน่นจากบนซ้ายไปขวาล่างจากนั้นบอกความน่าจะเป็นในการค้นหาระบบใน $n=0,1,2,\ldots$หมายความว่าถ้าองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์ความหนาแน่นคือ $p$ความน่าจะเป็นของระบบที่พบในระดับพลังงานที่สอดคล้องกับ $n=0$ คือ $p$. เมื่อไหร่$T=0$ เรามีความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะตื่นเต้น ($n>0$) ถูกกดทับอย่างมากโดยเลขชี้กำลังที่สลายตัวและคุณสามารถวางใจได้ในการค้นหาระบบที่ $n=0$ระดับ. เมื่อไหร่$T$มีขนาดใหญ่ขึ้นรัฐที่ตื่นเต้นมีแนวโน้มที่จะได้รับประชากรมากขึ้น เช่น$T$ แนวทาง $+\infty$เลขชี้กำลังจะเข้าใกล้ 1 และเราเข้าใกล้สถานการณ์ที่ความน่าจะเป็นเท่ากันสำหรับแต่ละรัฐ $n$.

Eq. 1 ในคำตอบนี้คือ:

  • Eq. 1 ในคำตอบนี้: การแปลงพลังงานที่มีผลผูกพันการดูดซับเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์
  • Eq. 3 ในคำตอบนี้: ฉันสามารถคำนวณความแตกต่างของพลังงานอิสระในสถานะจุลภาคใกล้เคียง (ชั่วคราว) โดยใช้สมการของ Zwanzig สำหรับการรบกวนพลังงานอิสระได้หรือไม่
  • Eq. 2 ในคำตอบนี้: ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์พลังงานจุดศูนย์และจำนวนควอนตัม n
5 Jack Jan 09 2021 at 09:23

คือ $𝑛$ เพียงตัวเลข?

ในระยะสั้น $n$ คือจำนวนควอนตัมพลังงานของออสซิลเลเตอร์ควอนตัมฮาร์มอนิก

ถ้าเป็นเช่นนั้นจะทำอย่างไร $𝑛$=$0$ มีอะไรเกี่ยวข้องกับอุณหภูมิ?

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $n$=$0$หมายความว่าออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกจะอยู่ที่สถานะกราวด์ โดยปกติแล้วสถานะพื้นของระบบควอนตัมจะถือว่าอยู่ที่อุณหภูมิศูนย์ ดังนั้นคุณสามารถค้นหาการเชื่อมต่อระหว่าง$n=0$ และศูนย์จุด

  • นี่คือโพสต์เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิศูนย์กับสถานะพื้นดิน

    • https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
  • นี่คือโพสต์เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับขนาดที่จะพูดถึงสมดุลทางความร้อน (นี่เป็นสิ่งสำคัญในการกำหนดอุณหภูมิ):

    • https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium

อาจช่วยได้

4 SusiLehtola Jan 10 2021 at 04:22

ดังที่ได้ระบุไว้ในคำตอบอื่น ๆ แล้ว $n$ เป็นเพียงตัวเลขและจำนวนประชากรของรัฐที่แตกต่างกัน $n$ ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ

อย่างไรก็ตามประเด็นสำคัญยังไม่ได้รับการกล่าวถึง ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์มักถูกเรียกใช้สำหรับการเคลื่อนที่ของนิวเคลียร์ เกิดขึ้นจากการขยายตัวของเทย์เลอร์ลำดับที่สองของพื้นผิวพลังงานศักย์นิวเคลียร์ Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$

โดยที่คำสั่งซื้อแรกหายไปตั้งแต่นั้นมา $\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$ อย่างน้อยที่สุด

เนื่องจากขอบเขตเชิงพื้นที่ของรัฐเพิ่มขึ้นด้วย $n$ความสำคัญของผลกระทบจาก anharmonic ก็เพิ่มขึ้นด้วยเช่นกัน $n$หรือด้วยอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น