คำจำกัดความนี้กำหนดสัญลักษณ์อย่างไร $P$ นอกชุดสัญลักษณ์ $S$ เป็น $S$-ประโยค?

Question

บนP126ในวรรค 3 ส่วนขยายตามคำจำกัดความในการตีความวากยสัมพันธ์ VIII และรูปแบบปกติในตรรกะทางคณิตศาสตร์ของ Ebbinghaus :$S$ คือชุดสัญลักษณ์ (ไม่ใช่ตรรกะ)

3.1 คำจำกัดความ ปล่อย$\Phi$ เป็นชุดของ $S$- ความรู้สึก.

(ก) สมมติว่า $P \notin S$ เป็น $n$สัญลักษณ์ความสัมพันธ์ -ary และ $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ ก $S$-สูตร. แล้วเราว่า$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ เป็น $S$-ความหมายของ $P$ ใน $\Phi$.

• อย่างไร $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ ก $S$-sentence หรือแม้แต่ก $S$-สูตร?

• $P v_0 ... n_{n-1}$ อยู่ทางซ้ายมือของ $\leftrightarrow$. สมมติว่า$P v_0 ... n_{n-1}$ จะเป็น $S$-สูตร? แต่$P \notin S$แล้วจะทำได้อย่างไร $P v_0 ... n_{n-1}$ เป็น $S$-สูตร?

ขอบคุณ.

Answer 1

เพื่อบันทึกการเขียนบางส่วนขออนุญาต $\sigma$ หมายถึง $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.

คุณถูกต้องแล้ว $\sigma$ ไม่ใช่ไฟล์ $S$- ฟอร์มเพราะ $\sigma$ เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ $P$ซึ่งไม่ได้อยู่ใน $S$. ในทางกลับกัน,$\sigma$ เป็น $(S \cup \{P\})$-ประโยค. นั่นคือประเด็นที่นี่:$\sigma$ กำลังบอกคุณว่าสัญลักษณ์ $P$ซึ่งไม่ได้อยู่ใน $S$เทียบเท่ากับไฟล์ $S$-สูตร. ศัพท์บัญญัติ "$S$-definition "หมายถึงความจริงที่ว่า $\sigma$ กำหนด $P$ ในแง่ของ $S$ก็ไม่ได้หมายความว่า $\sigma$ ตัวเองคือไฟล์ $S$-ประโยค.