คำจำกัดความที่กระชับยิ่งขึ้นของฟิลด์ย่อย

Question

ฉันกำลังอ่านตำราพีชคณิตโดย Saunders MacLane และ Garrett Birkhoff ซึ่งมีการกำหนดฟิลด์ย่อยเป็น

ชุดย่อยของเขตข้อมูล $F$ เป็นเขตข้อมูลย่อยถ้าปิดภายใต้หน่วยคูณการดำเนินการการลบการคูณและผกผันการคูณ (ขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์)

คำถามของฉัน:

1. จากความหมายของการย่อยเช่น

การย่อยของแหวน $(\mathrm{R},+, *, 0,1)$ เป็นส่วนย่อย $\mathrm{S}$ ของ $\mathrm{R}$ ที่รักษาโครงสร้างของแหวนเช่นแหวน $(\mathrm{S},+, *, 0,1)$ ด้วย $\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. เป็นทั้งกลุ่มย่อยของ$(\mathrm{R},+, 0)$ และ submonoid ของ $(\mathrm{R}, *, 1)$.

ฉันเข้าใจ "พอ ๆ กันมันเป็นทั้งกลุ่มย่อยของ $(\mathrm{R},+, 0)$ และ submonoid ของ $(\mathrm{R}, *, 1)$" เช่น

ชุดย่อย $S$ เป็นส่วนย่อยของ $R$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $S$ เป็นกลุ่มย่อยเพิ่มเติมของ $(R,+,0)$ และ $S \setminus \{0\}$ เป็น submonoid แบบทวีคูณของ $(R \setminus \{0\},*,1)$.

1. แรงบันดาลใจจากคำจำกัดความข้างต้น ฉันได้คำจำกัดความที่สั้นกว่าของฟิลด์ย่อยนั่นคือ

ชุดย่อย $E$ ของสนาม $(F,+, *, 0,1)$ เป็นฟิลด์ย่อยในกรณีที่และต่อเมื่อ $E$ เป็นกลุ่มย่อยเพิ่มเติมของ $(F,+,0)$ และ $E \setminus \{0\}$ เป็นกลุ่มย่อยแบบทวีคูณของ $(F \setminus \{0\},*,1)$.

โปรดตรวจสอบความเข้าใจของฉันว่าถูกต้องหรือไม่? ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือของคุณ!

Answer 1

การแก้ไขเล็กน้อย: สูตรที่สองของคุณ (เวอร์ชันของนิยามฟิลด์ย่อย) ถูกต้อง แต่สูตรแรกเกี่ยวกับการย่อยไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป: $(R\setminus\{0\},*,1)$ ตัวมันเองไม่จำเป็นต้องเป็น monoid (เช่นปิดด้วยการคูณ) เหมือนวงแหวน $R$ สามารถมีตัวหารศูนย์หรือ $R\setminus\{0\}$ อาจจะว่างเปล่า

พูดว่า $(R\setminus\{0\},*,1)$ เป็น monoid (เช่น submonoid ของ $(R,*,1)$) มีนัยอยู่แล้ว $1\neq 0$ และ $R$ไม่มีตัวหารศูนย์ ในกรณีนี้ (เท่านั้น)$(S,*,1)$ เป็น submonoid ของ $(R,*,1)$ iff $(S\setminus\{0\},*,1)$ เป็น submonoid ของ $(R\setminus\{0\},*,1)$.

Answer 2

ใช่ทั้งสองอย่างถูกต้อง คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบในคำจำกัดความเหล่านี้: ส่วนย่อยของชั้นลอย$X$ เป็นส่วนย่อย $Y$ ของ $X$ ที่ยังคงลอยอยู่กับการดำเนินการที่สืบทอดมา $X$.