ค่าใดที่ทำให้ความยาวขั้นต่ำของช่วงความเชื่อมั่น?

Question

ตัวแปรสุ่ม $X$ ดังต่อไปนี้ $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

ฉันพิจารณาช่วงความเชื่อมั่นของ $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.

เมื่อฉันตั้งค่าระดับความมั่นใจที่ $1-\alpha$, ค่าของ $b$ และ $c$ ซึ่งทำให้ความยาวขั้นต่ำของช่วงความเชื่อมั่น $d=b+c$เหรอ?

---

สิ่งที่ฉันได้พบ

คำถามก่อนหน้านี้ถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของ $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

และฉันก็ได้รับคำตอบอย่างง่ายดาย $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

ฉันคิดว่าถ้าฉันต้องการช่วงความเชื่อมั่นของ $/theta$ฉันต้องตั้งค่า $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ แต่ฉันไม่รู้ PDF ของ $\theta$. นี่คือที่ที่ฉันติด

ใครสามารถช่วยฉัน?

Answer 1

เนื่องจาก pdf ที่คุณระบุเป็น pdf แบบมีเงื่อนไขของ X ภายใต้θที่กำหนดจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับช่วงความเชื่อมั่น (CI) ของ X ภายใต้θที่กำหนด แต่ไม่ใช่ CI ของθ

ในทางตรงกันข้ามหากกำหนด pdf ของ f (θ | x) ด้วยนิพจน์เดียวกัน CI ที่สั้นที่สุดของθจะได้รับเป็น S (x) = [x + ln (อัลฟ่า) x-ln (อัลฟ่า)]

Answer 2

มีข้อผิดพลาดในผลลัพธ์ความน่าจะเป็นของคุณ (ซึ่งควรชัดเจนเนื่องจากไม่ถูกผูกไว้) การใช้ช่วงเวลา$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ คุณควรมีความน่าจะเป็นของการครอบคลุม:

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(สังเกตว่าไม่เหมือนกับผลลัพธ์ของคุณซึ่งจะเข้าใกล้เมื่อใด $b \rightarrow \infty$ หรือ $c \rightarrow \infty$.) ดังนั้นการค้นหาช่วงความเชื่อมั่นที่เหมาะสมที่สุดของแบบฟอร์มนี้ทำให้คุณต้องแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพต่อไปนี้:

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

ด้วยการทำงานเล็กน้อยคุณควรแสดงให้เห็นว่า optima เกิดขึ้นเมื่อใด $b=c$เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่นที่เหมาะสมเป็นหนึ่งโดยมีจุดกึ่งกลางอยู่ที่ $x$. สิ่งนี้ไม่น่าแปลกใจเนื่องจากการแจกแจง Laplace นั้นสมมาตรรอบ ๆ พารามิเตอร์เฉลี่ย$\theta$.