ค่าคงที่การแยกจากการแยกตัวแปรใน PDE
ฉันกำลังหาทางผ่านหนังสือเรียน (Richard Haberman พิมพ์ครั้งที่สี่) เกี่ยวกับสมการความร้อนเพื่อเป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยประยุกต์ ฉันไม่คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องค่าคงที่การแยกเนื่องจากมันยังคงเกิดขึ้นในการหาที่มา ยกโทษให้ฉันฉันเป็นวิชาเอกประสาทวิทยาศาสตร์ไม่ใช่วิชาเอกคณิตศาสตร์
ตัวอย่างเช่นฉันอยู่ในบทที่สองเรากำลังพูดถึงสมการของลาปลาซสำหรับการไหลของความร้อนในพื้นผิวสี่เหลี่ยม เราได้รับสมการนี้$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$
โดยที่ \ lambda คือค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าคงที่การแยกของการไล่ระดับสีนี้ ฉันเข้าใจค่าลักษณะเฉพาะในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้น (ซึ่งฉันเข้าใจดีพอ) และฉันยินดีที่จะยอมรับว่าฟังก์ชันเป็นเวกเตอร์ที่มีดัชนีไม่สิ้นสุด แต่ฉันก็ยังสับสนว่าฉันจะดึงค่าคงที่การแยกนั้นออกจากอากาศได้อย่างไร ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขใดบ้างจึงจะตั้งสมมติฐานนี้ได้
แก้ไข: นี่คือหน้าในข้อความของฉันที่นำมาจากอาจมีข้อมูลที่เกี่ยวข้องที่ฉันไม่ได้รวมไว้
คำตอบ
ประเด็นคือ
$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$
เป็นอิสระจาก $y$ในขณะที่
$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$
เป็นอิสระจาก $x$. ดังนั้นคุณอยู่ในสถานการณ์ที่
$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$
ซึ่งหมายความว่า $f, g$เป็นฟังก์ชันคงที่ทั้งคู่ ตัวอย่างเช่นเลือก$y=0$แล้ว $f(x) = g(0)$ เพื่อทุกสิ่ง $x$. ดังนั้น$f(x)$เป็นฟังก์ชันคงที่ คล้ายกันสำหรับ$g$.
ด้วยประการฉะนี้ $f(x) = g(y) = \lambda$.