ค่าคงที่เลขชี้กำลังฐาน
ผลรวมของพลังเรียกว่าค่าคงที่เลขชี้กำลังฐานถ้าค่าของมันไม่เปลี่ยนแปลงถ้าแต่ละฐานและเลขชี้กำลังถูกสลับ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ$2^4$ซึ่งแน่นอนเท่ากับ $4^2$. ค่าคงที่เลขชี้กำลังฐานอื่นคือ
$$2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4}=5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5}$$
มีตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายด้วย $5$summands รู้จัก (https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0608.html.)
เราสนใจเรื่องค่าคงที่เลขชี้กำลังฐานซึ่งฐานและเลขชี้กำลังทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มเป็นอย่างน้อย $2$และเมื่อไม่มีอำนาจปรากฏขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งแม้จะเปลี่ยนฐานและเลขชี้กำลังแล้วก็ตาม มีผลรวมของ$2$, $3$, หรือ $4$ อำนาจที่ไม่แปรผันฐานเลขชี้กำลัง?
ฉันยังสนใจในนิพจน์ผลรวมทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ยังคงเป็นจริงหากมีการสลับฐานและเลขชี้กำลังซึ่งนำไปสู่ตัวอย่างจำนวนมากของความยาวที่กำหนด Dean Hickerson พบว่านิพจน์นี้เกี่ยวข้องกับผลรวมของ$20$ อำนาจที่ใช้งานได้:
$$ 2^{2n} + 2^{2n+8}+ 2^{2n+16} + 2^{2n+32} + 2^{2n+34} + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+10} + 4^{n+14} + 4^{n+18} + n^{4} + (n+4)^{4} + (n+8)^{4} + (n+16)^{4} + (n+17)^{4} + (2n+2)^{2} + (2n+4)^{2} + (2n+20)^{2} + (2n+28)^{2} + (2n+36)^{2} $$
มีนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับน้อยกว่าหรือไม่ $20$ อำนาจ?
คำตอบ
นี่คือคำตอบบางส่วน :
ฉันเสนอคำจำกัดความและนำเสนอการคาดเดาโดยอาศัยการคำนวณอย่างละเอียด
ฉันขอเสนอคำจำกัดความดังต่อไปนี้:
$n\in\mathbb N$เป็นผลรวมค่าคงที่เลขชี้กำลังฐาน = จำนวนที่ไม่แปรผันของพลังที่แข็งแกร่ง (SPIN)หากเป็นผลรวมที่ไม่แปรผันของเลขชี้กำลัง
$$ n=\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{b_{i}}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{a_{i}}, \quad a_{i}>1, b_{i}>1, \quad a_{i}^{b_{i}} \neq b_{i}^{a_{i}}, \quad\left(i \neq j \Longrightarrow\left\{a_{i}, b_{i}\right\} \neq\left\{a_{j}, b_{j}\right\}\right) $$
ตัวอย่างเช่น SPIN ที่เล็กที่สุดมี $k=6$ เงื่อนไขในผลรวมและเท่ากับ:
$$\begin{align} 432 &= 3^{2}+5^{2}+2^{6}+3^{4}+5^{3}+2^{7} \\&= 2^{3}+2^{5}+6^{2}+4^{3}+3^{5}+7^{2}. \end{align}$$
ตัวเลขบางตัว $n$สอดคล้องกับผลรวมมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:
$$ \begin{align} 1554&=3^{2}+7^{2}+6^{3}+2^{8}+4^{5} \\ &=2^{3}+2^{7}+3^{6}+8^{2}+5^{4}, \\ 1554&=3^{2}+5^{2}+2^{6}+10^{2}+2^{7}+3^{5}+2^{8}+3^{6}\\ &=2^{3}+2^{5}+6^{2}+2^{10}+7^{2}+5^{3}+8^{2}+6^{3}. \end{align} $$
$1554$ เท่ากับหนึ่ง $5$ผลรวม -term และหนึ่ง $8$- ผลรวมระยะเวลา
จนถึง $n\le 10^4$มี $887$ SPIN (การนับรายการที่ซ้ำกัน) https://pastebin.com/5ArkFif4.
แต่เราสนใจตัวอย่างที่ $k$ - จำนวนคำศัพท์ (summands) มีขนาดเล็ก
$(k\le 5)$ ระยะ SPIN
จนถึง $n\le 10^{20}$มีเพียง $14$ หมุนด้วย $5$ หรือน้อยกว่าและมีเงื่อนไขทั้งหมด $5$ เงื่อนไข:
$$\begin{array}{} 1422 &= 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5} &= 2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4} \\ 1464 &= 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 5^{4} + 3^{6} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 4^{5} + 6^{3} \\ 1554 &= 2^{3} + 8^{2} + 2^{7} + 5^{4} + 3^{6} &= 3^{2} + 2^{8} + 7^{2} + 4^{5} + 6^{3} \\ 2612 &= 5^{2} + 6^{2} + 11^{2} + 3^{5} + 3^{7} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{11} + 5^{3} + 7^{3} \\ 3127 &= 2^{3} + 6^{3} + 7^{3} + 2^{9} + 2^{11} &= 3^{2} + 3^{6} + 3^{7} + 9^{2} + 11^{2} \\ 4481 &= 6^{2} + 10^{2} + 11^{2} + 2^{7} + 4^{6} &= 2^{6} + 2^{10} + 2^{11} + 7^{2} + 6^{4} \\ 5644 &= 9^{2} + 10^{2} + 7^{3} + 4^{5} + 4^{6} &= 2^{9} + 2^{10} + 3^{7} + 5^{4} + 6^{4} \\ 16122 &= 2^{3} + 4^{3} + 13^{2} + 2^{8} + 5^{6} &= 3^{2} + 3^{4} + 2^{13} + 8^{2} + 6^{5} \\ 68521 &= 8^{2} + 5^{4} + 10^{3} + 6^{4} + 4^{8} &= 2^{8} + 4^{5} + 3^{10} + 4^{6} + 8^{4} \\ 77129 &= 12^{2} + 16^{2} + 6^{4} + 4^{7} + 3^{10} &= 2^{12} + 2^{16} + 4^{6} + 7^{4} + 10^{3} \\ 82583 &= 5^{2} + 3^{4} + 16^{2} + 2^{12} + 5^{7} &= 2^{5} + 4^{3} + 2^{16} + 12^{2} + 7^{5} \\ 1065585 &= 9^{2} + 12^{2} + 20^{2} + 4^{7} + 4^{10} &= 2^{9} + 2^{12} + 2^{20} + 7^{4} + 10^{4} \\ 4227140 &= 13^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 5^{6} + 2^{22} &= 2^{13} + 4^{7} + 4^{11} + 6^{5} + 22^{2} \\ 6164560 &= 18^{2} + 7^{5} + 5^{9} + 2^{21} + 8^{7} &= 2^{18} + 5^{7} + 9^{5} + 21^{2} + 7^{8} \end{array}$$
โดยที่อันใหญ่ที่สุดมีขนาดเล็กกว่า $10^7 \ll 10^{20}$.
การคาดเดา:ไม่มี SPIN ที่มีน้อยกว่า$5$ เงื่อนไข
การคาดเดา:มีแน่นอน$14$ หมุนด้วย $5$ เงื่อนไข
นี่คงยากที่จะพิสูจน์
เช่นปัญหาที่คล้ายกับ $k=2$ ถูกเชื่อมโยงโดย https://math.stackexchange.com/q/3795656/318073#comment7868924_3795656; ซึ่งยังเปิดอยู่:https://math.stackexchange.com/q/3286093/318073. นั่นคือ,$k=2$ เทียบเท่ากับปัญหาที่เชื่อมโยง แต่สำหรับ $a^b-b^a$ แทน:
$$ a^b+c^d=b^a+d^c \iff a^b-b^a = d^c - c^d. $$
$(k\ge 6)$ ระยะ SPIN
การคาดเดา:สำหรับการแก้ไขใด ๆ$k\ge 6$มีมากมายเหลือหลาย $k$- ระยะ SPIN
นั่นคือที่รู้จักกัน $20$- ครอบครัวระยะ:
$$ n(t) = 2^{2t} + 2^{2t+8}+ 2^{2t+16} + 2^{2t+32} + 2^{2t+34} + 4^{t+1} + 4^{t+2} + 4^{t+10} + 4^{t+14} + 4^{t+18} + t^{4} + (t+4)^{4} + (t+8)^{4} + (t+16)^{4} + (t+17)^{4} + (2t+2)^{2} + (2t+4)^{2} + (2t+20)^{2} + (2t+28)^{2} + (2t+36)^{2} $$
ให้ $20$-term SPIN สำหรับทุกๆ $t\gt 4$แต่ฉันอ้างว่าก $6$- ครอบครัวระยะ $n(t_1,t_2,\dots)$ มีอยู่
แต่นี่อาจเป็นเรื่องยากที่จะแสดง
ในความพยายามที่จะหาครอบครัวเช่นนี้ฉันพบ "ชนิดพิเศษ" ของ $k=6$ ตัวอย่าง.
$(k = 6)$ คำว่า SPIN ชนิดพิเศษ
จนถึง $n\le 10^{10}$มี $101$ หมุนด้วย $6$ เงื่อนไข; https://htmlpreview.github.io/?https://github.com/virv/SPIN/blob/master/SPINs.html.
เป็นไปได้จริงที่จะพบตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่มากสำหรับ $k=6$. ตัวอย่างเช่น,
$$ n^* = 2^5 + 11^2 + 2^{28} + 52^2 + 8192^4 + 2^{16384} = 5^2 + 2^{11} + 28^2 + 2^{52} + 4^{8192} + 16384^2 $$
มี $4933$ หลักทศนิยม (มีขนาดใหญ่กว่า $n^*\gt 10^{4932}$).
สิ่งนี้สามารถค้นหาได้โดยการค้นหา "ชนิดพิเศษ" ของ $6$- ระยะ SPIN:
$$ n^{*}=\sum_{i=1}^4a_i^{b_i} + x^4 + 2^{2x} =\sum_{i=1}^4b_i^{a_i} + 4^x + (2x)^2 $$
ซึ่งมีมากมายเพราะ $|(4^x-x^4) - ((2x)^2-2^{2x})|$เป็น"ค่อนข้างเล็ก" นั่นคือ,
เมื่อฉันค้นหาไฟล์ $k=2$ ตัวอย่างเช่นฉันพยายามลด "ข้อผิดพลาด":
$$|(a_1^{b_1}-b_1^{a_1})-(a_2^{b_2}-b_2^{a_2})|$$
สำหรับระยะแรกคงที่ $i=1$ และค้นหาเทอมที่สองที่ใกล้ที่สุด $i=2$.
ในพล็อตลอการิทึมของ "error" เป็นครั้งแรก $1000$ เงื่อนไข $(a_i^{b_i}-b_i^{a_i})$ เราพบว่า:
ที่ $\{a_1,b_1\}=\{4,x\}$ และ $\{a_2,b_2\}=\{2x,2\}$ มี "ข้อผิดพลาด" น้อยที่สุด นั่นคือสังเกตส่วนโค้งของจุด ("ข้อผิดพลาด") ที่ใกล้กับแกน x มากที่สุดซึ่งฉันให้สีเป็นสีเขียว
ข้อผิดพลาดเหล่านี้บางครั้งอาจลดลงเป็น $0$ โดยการเพิ่ม $4$ ข้อกำหนดเพิ่มเติมซึ่งให้ $6$- ตัวอย่าง "ชนิดพิเศษ" นี้ $n^{*}$.
จนถึง $n^{*}\le 10^{20}$มี $41$ "ชนิดพิเศษ" เหล่านี้ $6$- ระยะ SPIN:
$$\begin{align} 3^{2} + 5^{2} + 2^{7} + 5^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{3} + 2^{5} + 7^{2} + 3^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{5} + 3^{4} + 5^{3} + 9^{2} + 5^{4} + 2^{10} &=& 5^{2} + 4^{3} + 3^{5} + 2^{9} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 3^{4} + 6^{2} + 6^{3} + 5^{4} + 2^{10} &=& 3^{2} + 4^{3} + 2^{6} + 3^{6} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 7^{3} + 8^{3} + 5^{6} + 3^{4} + 2^{6} &=& 3^{2} + 3^{7} + 3^{8} + 6^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 11^{2} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{5} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{11} + 4^{7} + 14^{2} \\ 7^{2} + 4^{6} + 2^{14} + 9^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{7} + 6^{4} + 14^{2} + 3^{9} + 4^{3} + 6^{2} \\ 6^{2} + 2^{8} + 2^{9} + 6^{4} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{6} + 8^{2} + 9^{2} + 4^{6} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{7} + 6^{5} + 13^{2} + 4^{7} + 3^{4} + 2^{6} &=& 7^{3} + 5^{6} + 2^{13} + 7^{4} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{3} + 7^{2} + 2^{8} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 3^{2} + 2^{7} + 8^{2} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 3^{2} + 5^{2} + 3^{5} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{3} + 2^{5} + 5^{3} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 8^{2} + 5^{4} + 4^{6} + 8^{3} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{8} + 4^{5} + 6^{4} + 3^{8} + 4^{8} + 16^{2} \\ 2^{6} + 9^{2} + 5^{7} + 8^{4} + 5^{4} + 2^{10} &=& 6^{2} + 2^{9} + 7^{5} + 4^{8} + 4^{5} + 10^{2} \\ 5^{3} + 8^{3} + 7^{5} + 2^{16} + 7^{4} + 2^{14} &=& 3^{5} + 3^{8} + 5^{7} + 16^{2} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{2} + 2^{11} + 2^{13} + 14^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{3} + 11^{2} + 13^{2} + 2^{14} + 4^{9} + 18^{2} \\ 9^{2} + 7^{3} + 5^{7} + 16^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{9} + 3^{7} + 7^{5} + 2^{16} + 4^{9} + 18^{2} \\ 6^{3} + 3^{7} + 2^{13} + 9^{3} + 10^{4} + 2^{20} &=& 3^{6} + 7^{3} + 13^{2} + 3^{9} + 4^{10} + 20^{2} \\ 2^{9} + 6^{4} + 3^{10} + 16^{2} + 10^{4} + 2^{20} &=& 9^{2} + 4^{6} + 10^{3} + 2^{16} + 4^{10} + 20^{2} \\ 3^{2} + 3^{4} + 8^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{3} + 4^{3} + 2^{8} + 4^{7} + 4^{11} + 22^{2} \\ 7^{2} + 2^{10} + 2^{12} + 9^{3} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{7} + 10^{2} + 12^{2} + 3^{9} + 4^{11} + 22^{2} \\ 11^{2} + 12^{2} + 13^{2} + 7^{4} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{11} + 2^{12} + 2^{13} + 4^{7} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{2} + 4^{7} + 2^{14} + 10^{3} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{5} + 7^{4} + 14^{2} + 3^{10} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{3} + 4^{7} + 9^{3} + 15^{2} + 14^{4} + 2^{28} &=& 3^{5} + 7^{4} + 3^{9} + 2^{15} + 4^{14} + 28^{2} \\ 7^{2} + 8^{3} + 2^{17} + 7^{6} + 14^{4} + 2^{28} &=& 2^{7} + 3^{8} + 17^{2} + 6^{7} + 4^{14} + 28^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 3^{8} + 10^{3} + 15^{4} + 2^{30} &=& 9^{2} + 7^{3} + 8^{3} + 3^{10} + 4^{15} + 30^{2} \\ 5^{4} + 6^{4} + 7^{4} + 15^{2} + 15^{4} + 2^{30} &=& 4^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 2^{15} + 4^{15} + 30^{2} \\ 3^{4} + 9^{2} + 8^{3} + 10^{3} + 16^{4} + 2^{32} &=& 4^{3} + 2^{9} + 3^{8} + 3^{10} + 4^{16} + 32^{2} \\ 13^{2} + 3^{9} + 6^{7} + 9^{4} + 17^{4} + 2^{34} &=& 2^{13} + 9^{3} + 7^{6} + 4^{9} + 4^{17} + 34^{2} \\ 2^{8} + 8^{3} + 15^{2} + 16^{2} + 18^{4} + 2^{36} &=& 8^{2} + 3^{8} + 2^{15} + 2^{16} + 4^{18} + 36^{2} \\ 2^{5} + 6^{2} + 2^{11} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 5^{2} + 2^{6} + 11^{2} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 4^{3} + 2^{7} + 3^{7} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 3^{4} + 7^{2} + 7^{3} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 5^{6} + 5^{7} + 16^{2} + 7^{6} + 20^{4} + 2^{40} &=& 6^{5} + 7^{5} + 2^{16} + 6^{7} + 4^{20} + 40^{2} \\ 5^{3} + 6^{4} + 7^{4} + 11^{3} + 21^{4} + 2^{42} &=& 3^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 3^{11} + 4^{21} + 42^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 15^{2} + 8^{5} + 25^{4} + 2^{50} &=& 9^{2} + 7^{3} + 2^{15} + 5^{8} + 4^{25} + 50^{2} \\ 2^{8} + 2^{13} + 4^{8} + 19^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 8^{2} + 13^{2} + 8^{4} + 2^{19} + 4^{26} + 52^{2} \\ 2^{17} + 9^{4} + 4^{24} + 48^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 17^{2} + 4^{9} + 24^{4} + 2^{48} + 4^{26} + 52^{2} \\ 17^{2} + 4^{9} + 4^{26} + 52^{2} + 24^{4} + 2^{48} &=& 2^{17} + 9^{4} + 26^{4} + 2^{52} + 4^{24} + 48^{2} \\ 5^{2} + 2^{11} + 9^{4} + 8^{5} + 28^{4} + 2^{56} &=& 2^{5} + 11^{2} + 4^{9} + 5^{8} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{7} + 10^{3} + 4^{10} + 13^{3} + 28^{4} + 2^{56} &=& 7^{2} + 3^{10} + 10^{4} + 3^{13} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{8} + 2^{11} + 13^{2} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 8^{2} + 11^{2} + 2^{13} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ 6^{2} + 2^{10} + 4^{6} + 20^{2} + 32^{4} + 2^{64} &=& 2^{6} + 10^{2} + 6^{4} + 2^{20} + 4^{32} + 64^{2} \\ 5^{3} + 2^{19} + 12^{3} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 3^{5} + 19^{2} + 3^{12} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ \end{align}$$
ดูเหมือนว่าจะมีตัวอย่าง "ชนิดพิเศษ" เหล่านี้มากมาย
ดูเหมือนว่ายังมีอีกมากมายไม่สิ้นสุด $6$-term SPINs (ซึ่งไม่ใช่ "ชนิดพิเศษ")
แต่อีกครั้งนี่อาจเป็นเรื่องยากที่จะพิสูจน์
นอกจากนี้เรายังสามารถสร้างตัวอย่างได้มากมายโดยพิจารณา "ส่วนโค้งที่ดีที่สุดอันดับสอง" เหนือส่วนโค้งสีเขียวเป็นต้น นอกจากนี้เราสามารถพยายามสังเกตข้อผิดพลาดที่เล็กที่สุดเพื่อให้ใหญ่ขึ้น$k\gt 2$และพยายามขยายสิ่งเหล่านั้นให้เป็นตัวอย่างมากยิ่งขึ้นและเป็นตัวอย่างของ $k\gt 6$.
แต่สำหรับ $k\le 5$ข้อผิดพลาดดูเหมือนจะใหญ่เกินกว่าที่จะมีตัวอย่างขนาดใหญ่ได้