คำอธิบายแนวคิดสำหรับเครื่องหมายหน้าการดำเนินการไบนารี
ในหลาย ๆ สถานการณ์ฉันเคยเห็นว่าการดำเนินการไบนารีในโมดูลที่ให้คะแนน $m:A\otimes A\to A$การดำเนินการใหม่ $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ ถูกกำหนดเพื่อให้ตรงตามคุณสมบัติบางประการ
ตัวอย่างหนึ่งของสิ่งนี้เกิดขึ้นในHomotopy G-algebras และช่องว่างโมดูลิซึ่งสำหรับการดำเนินการแบบไบนารี$m\in\mathcal{O}(2)$ ดังนั้น $m\circ m=0$ สำหรับโอเปราบางตัว $\mathcal{O}$ผลิตภัณฑ์ที่เชื่อมโยงถูกกำหนดโดย $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$โดยที่สัญกรณ์รั้งหมายถึงโครงสร้างพีชคณิตรั้งบน $\mathcal{O}$. ในกรณีนี้คำอธิบายที่ฉันสามารถอนุมานได้ก็คือสิ่งนี้จำเป็นสำหรับความสัมพันธ์รั้ง (สมการ (2) ในกระดาษ) เพื่อบ่งบอกถึงความเชื่อมโยงของผลิตภัณฑ์$xy$. ในกรณีนี้เครื่องหมาย$(-1)^{|x|}$ ทำงานเพื่อจุดประสงค์นี้ด้วย
อีกตัวอย่างหนึ่งที่ตรงไปตรงมาของสถานการณ์นี้เกิดขึ้นในสูตร Cartan homotopy และการเชื่อมต่อ Gauss-manian ในการคล้ายคลึงกันแบบวัฏจักรซึ่งได้รับ$A_\infty$- พีชคณิตกับ $m_i=0$ สำหรับ $i>2$หนึ่งได้ dg-algebra โดยกำหนดอีกครั้ง $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. ในกรณีนี้เป็นเพราะผู้เขียนใช้แบบแผนสำหรับ$A_\infty$-algebras ซึ่งสมการมีเพียงเครื่องหมายบวกดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีเครื่องหมายพิเศษเพื่อสร้างความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกับกฎไลบ์นิซ ดังนั้นเหตุผลจึงคล้ายกับกรณีก่อนหน้านี้มากแม้ว่าการสร้างจะง่ายกว่าเพราะไม่มีพีชคณิตรั้งที่นี่
และอีกตัวอย่างพิเศษที่ฉันไม่มีข้อมูลอ้างอิงคือในกรณีของ Lie algebras เมื่อผู้หนึ่งกำหนดเครื่องกำเนิดของโอเปราของ Lie algebras ที่ให้คะแนนมักจะใช้เวลา$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ แทนที่จะกำหนดโดยตรง $l$เป็นวงเล็บ ถ้าฉันจำไม่ผิดนี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้ได้ตัวตนของจาโคบีในรูปแบบโอเปร่าล้วนๆ
ดังนั้นจึงดูเหมือนเป็นเรื่องปกติมากที่จะเพิ่มเครื่องหมายนั้นเพื่อให้ความสัมพันธ์หยุดชะงัก สิ่งที่ฉันต้องการทราบหากมีคำอธิบายเชิงแนวคิดเพิ่มเติมว่าเหตุใดจึงถือเป็นระบบ บางทีมันใช้งานได้เมื่อเขียนสมการ แต่ฉันกำลังมองหาสัญชาตญาณทั่วไปมากกว่านี้
แรงจูงใจของฉันคือการสรุปแนวคิดนี้กับแผนที่ของความเที่ยงธรรมที่สูงขึ้น แม่นยำยิ่งขึ้นได้รับ$A_\infty$- การคูณ $m\in\mathcal{O}$ ดังนั้น $m\circ m=0$ฉันต้องการกำหนดไฟล์ $A_\infty$-โครงสร้าง $M$ บน $\mathcal{O}$ ที่ตรงตามอนุสัญญา
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(นอกจากนี้ยังมีการประชุมอื่นที่เป็นไปได้ที่ $rs+t$ ถูกแทนที่ด้วย $r+st$)
นี่จึงคล้ายกับกระดาษของ Getzler ที่เขาให้คำจำกัดความ $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$และแผนผังโครงสร้างนี้ตอบสนองความสัมพันธ์ $M\circ M=0$แต่มีเครื่องหมายบวกทั้งหมด ดังนั้นฉันจำเป็นต้องแก้ไขแผนที่เหล่านี้ด้วยสัญญาณบางอย่างในลักษณะเดียวกันกับกรณีเชื่อมโยง แน่นอนฉันสามารถลองนั่งเขียนสมการและหาเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสัญญาณและอาจจะพบรูปแบบ แต่ถ้ามีคำอธิบายเชิงแนวคิดสำหรับกรณีเชื่อมโยงและอัลเกบราสโกหกอาจมีวิธีที่ง่ายกว่าในการค้นหาว่าสัญญาณที่ฉันต้องการคืออะไร
คำตอบ
ฉันพบว่าคำถามค่อนข้างน่าสนใจ (ในแง่ที่ว่าคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับปัจจัยทางสัญญะที่ปรากฏในโครงสร้างพีชคณิตต่างๆโดยไม่มีเหตุผลชัดเจนได้ผ่านการศึกษาของฉันมาระยะหนึ่งแล้ว
แม้ว่าฉันจะไม่ค่อยคุ้นเคยกับตัวอย่างส่วนใหญ่ของคุณ แต่เนื่องจากคุณพูดถึงแอลจีบราสที่เชื่อมโยงและโกหกด้วยฉันจะอ้างถึง "ปรากฏการณ์" ที่คล้ายกันจากอัลเกบราสที่ให้คะแนน: สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ $\mathbb{Z}_2$- ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ที่ได้รับการอัพเกรดระหว่างสอง superalgebras ที่เชื่อมโยงกัน ($\mathbb{Z}_2$อัลเจบราที่ได้รับการอัพเกรด) $A$ และ $B$. ถ้า$b$, $c$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นเนื้อเดียวกันของ $B$ และ $A$ตามลำดับแล้วจึงเรียกว่าพีชคณิตผลิตภัณฑ์ซุปเปอร์เทนเซอร์หรือ$\mathbb{Z}_2$พีชคณิตเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ -gradedของ superalgebras เป็น superalgebra$A\underline{\otimes} B$ซึ่งการคูณจะได้รับจาก $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ ด้วย $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. นี่คือปัจจัยสัญลักษณ์สะท้อนให้เห็นถึงการถักเปียของหมวดหมู่ monoidal ของการเป็นตัวแทนของพีชคณิตแบบกลุ่ม$\mathbb{CZ}_2$: จำไว้ว่า superalgebras สามารถมองได้อีกทางหนึ่งว่าเป็น algebras ในหมวด monoidal แบบถัก ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (ได้แก่ หมวดหมู่ของ $\mathbb{CZ}_{2}$-modules) และการคูณข้างต้นสามารถเขียนเป็นนามธรรมได้ว่า: $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$ที่นี่มีการถักเปียโดยครอบครัวของ isomorphisms ตามธรรมชาติ$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ เขียนอย่างชัดเจน: $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ ที่ไหน $V$, $W$ เป็นสองอย่าง $\mathbb{CZ}_2$โมดูล
นอกจากนี้การถักเปียนี้เกิดจากโครงสร้าง quasitriangular ที่ไม่สำคัญของพีชคณิตกลุ่ม Hopf$\mathbb{CZ}_{2}$ให้โดย $R$-matrix : \ begin {สมการ} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(2)} = \ frac {1} {2} (1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes 1 - g \ otimes g) \ end {สมการ}ผ่านความสัมพันธ์:$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
สำหรับอีกมุมมองหนึ่งดังกล่าวข้างต้น$R$-matrix ถือได้ว่าถูก "สร้าง" โดยbicharacter (หรือ: ปัจจัยการเปลี่ยน) ของ$\mathbb{Z}_2$กลุ่ม.
มีอคติระหว่าง$R$-matrices, braidings และ bicharacters (ซึ่งต่อไปนี้เป็นปัจจัยการเปลี่ยน) ในการถัก, การตั้งค่าที่ให้คะแนนสำหรับ Assoc หรือ Lie braided ("สี" เป็นชื่ออื่น), algebras ที่ให้คะแนน
สิ่งเหล่านี้สามารถสรุปได้สำหรับอัลจีบราที่ให้คะแนนการไล่ระดับและการถักเปียหรือ $R$-matrices หรือ bicharacters ของกลุ่มที่เกี่ยวข้องสำหรับกลุ่ม abelian ที่ จำกัด นอกจากนี้สำหรับ$\mathbb{G}$- เกรด $\theta$-colored Lie superalgebras เพื่อสร้าง bicharacters ที่ซับซ้อนมากขึ้น $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (ซึ่งในตัวอย่างด้านบนโดยที่ $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ เป็นปัจจัยสัญลักษณ์ของ $\mathbb{Z}_2$ กลุ่ม abelian)
เพื่อสรุป: ปัจจัยเครื่องหมายในที่นี้คือลักษณะ "โดยนัย" ของอักขระสองตัวของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง และยังสามารถดูได้ว่าเป็นการถักเปียของการแสดงหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องหรือเป็น$R$-matrices สำหรับกลุ่ม quaitriangular group hopf algebras ที่สอดคล้องกัน (ของครีบ, abelian, กลุ่มการให้เกรด)
หากคุณสนใจในตัวอย่างเหล่านี้และพิจารณาว่าเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณคุณสามารถดูคำอธิบายในคำตอบนี้: https://mathoverflow.net/a/261466/85967 และกระดาษเชื่อมโยงของฉันในนั้น
ดังที่ Gabriel C. Drummond-Co ให้ความเห็นมันเกี่ยวข้องกับสารแขวนลอยที่มีนัยยะ ฉันจะทำตามตัวอย่างของ Gerstenhaber และ Voronov และคนอื่น ๆ ควรทำตามในทำนองเดียวกัน ให้เราแสดง$M_2(x,y)=x\cdot y$ ผลิตภัณฑ์ที่เราต้องการกำหนดตามวงเล็บปีกกา $m\{x,y\}$. ถ้าเรากำหนดเป็นแผนที่$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (การระงับเป็นช่องว่างเวกเตอร์ที่ให้คะแนน) จากนั้นสิ่งที่ต้องทำก็คือการใช้วงเล็บปีกกา $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$แต่ในการทำเช่นนั้นเราต้องประกอบด้วยสารแขวนลอยและตัวยึด ได้แก่$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. และมันกำลังใช้$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ สิ่งที่ทำให้เครื่องหมาย $(-1)^{|x|}$ปรากฏ. ถ้าเราใช้$(s^{\otimes 2})^{-1}$ จากนั้นเราจะได้เครื่องหมายเดิมแทน $(-1)^{|x|+1}$.