คำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าทำไม "ตัวดำเนินการเงา" $\frac D{e^D-1}$ เชื่อมต่อลอการิทึมกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ?
พิจารณาตัวดำเนินการ $\frac D{e^D-1}$ ซึ่งเราจะเรียกว่า "เงา":
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
ปริพันธ์ตรงนี้ควรเข้าใจว่าเป็นการแปลงฟูเรียร์
ตอนนี้สังหรณ์ใจทำไมต่อไปนี้?
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
มีตัวอย่างอื่น ๆ ที่เงาจะแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตรีโกณมิติผกผันลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลัง ฯลฯ :
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
คำตอบ
โดยพื้นฐานแล้วนี่คือการขยายเศษส่วนบางส่วนของโคแทนเจนต์ของออยเลอร์โดยพื้นฐานแล้ว $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (อนุพันธ์บันทึกของสูตรผลิตภัณฑ์ไซน์ที่มีชื่อเสียงของเขา $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). โดยชุดเหลื่อมเราสามารถเขียนสิ่งนี้ใหม่เป็น$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ ตามทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ $e^{nD_x}$ เป็นการดำเนินการแปลโดย $n$ดังนั้นเราจึงมีอนุกรมเรขาคณิตอย่างเป็นทางการ $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (ซึ่งบังเอิญช่วยอธิบายสูตร Euler-Maclaurin) และอื่น ๆ $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ หรือเทียบเท่า $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ สิ่งนี้จะให้ข้อมูลประจำตัวของคุณหลังจากการจัดเรียงใหม่อย่างง่าย ๆ (และการแทนที่ $z$ ด้วยอย่างใดอย่างหนึ่ง $z/\pi$ หรือ $z/\pi + 1/2$).
เหตุผลหลักสำหรับเอกลักษณ์เศษส่วนบางส่วนของออยเลอร์คือเสาและเศษเหลือของฟังก์ชันโคแทนเจนต์นั้นสามารถระบุและคำนวณได้อย่างง่ายดาย เหตุผลที่สามารถยุบลงในนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการสรุป$\frac{1}{1-e^{D_x}}$คือเสาและส่วนที่เหลือเหล่านี้มีความไม่แน่นอนของการแปลซึ่งในที่สุดก็มาจากระยะเวลาของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ ฉันคิดว่ามีตัวตนที่คล้ายกันสำหรับ Weierstrass$\wp$ ฟังก์ชันซึ่งจะทวีคูณเป็นระยะพร้อมกับพฤติกรรมของเสาที่เฉพาะเจาะจงมาก
op $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
ที่ไหน $(b.)^n = b_n$คือตัวเลข Bernoulli คือ (สัญญาณ mod) มักเรียกกันว่าตัวดำเนินการทอดด์ (เดิมทีอาจได้รับชื่อนั้นโดย Hirzebruch ซึ่งใช้เพื่อสร้างคลาสลักษณะ Todd ของเขา)
มีคุณสมบัติ discretizing (หรืออนุพันธ์) ที่สามารถแสดงในรูปแบบที่เป็นประโยชน์ต่อไปนี้
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
ที่ไหน
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
เป็นพหุนามของ Appell Bernoulli ที่มีชื่อเสียงพร้อมด้วย egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$และ $F(x)$ เป็นอินทิกรัล / ดั้งเดิมที่ไม่มีกำหนดของ $f(x)$. ความเสมอภาคสุดท้ายแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติเชิงอนุพันธ์ของพหุนามเบอร์นูลลีและนิยามพวกมันอย่างสมบูรณ์
นี่นำไปสู่
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสตริงของความสัมพันธ์
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
หากคุณใช้ขีด จำกัด อย่างเหมาะสม $s \to -1$คุณมาถึงความสัมพันธ์กับลอการิทึมธรรมชาติจากไหนพร้อมกับการขยายอนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติในคำตอบของ Terry Tao คุณสามารถล้อเลียนสูตรเฉพาะของคุณได้
สำหรับการประยุกต์ใช้สูตรดิสเครตติ้งเชิงภาพประกอบที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นโปรดดูที่ Eqn 1, "สูตร Khovanskii-Pukhlikov ซึ่งเป็นสูตรผสมของสูตร Hirzebruch-Riemann-Roch (HRR) สำหรับความหลากหลายของ Toric X ที่มีตัวหาร D ... " ในหน้าที่ 2 ของ "$T_y$- ตัวดำเนินการอินทิกรัลบนโพลีท็อปขัดแตะ "โดย Goda, Kamimura และ Ohmoto
โปรดสังเกตว่าลำดับผกผันสะดือของพหุนาม Bernoulli ซึ่งเป็นพหุนามกำลัง Appell
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
ด้วย. egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$ยังถูกกำหนดโดยการผกผันองค์ประกอบสะดือ
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
ดังนั้น
- คุณสมบัติเชิงอนุพันธ์ของพหุนาม Appell Bernoulli
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- ความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันของการกำหนด egfs ของช่วงเวลาของคู่ผกผันของลำดับพหุนามของ Appell
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- ซึ่งกันและกันของ ops คู่
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- คุณสมบัติการสร้างพหุนามคู่ของตัวเลือก
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- ความสัมพันธ์ผกผันองค์ประกอบสะดือของพหุนามชุดคู่
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- และคุณสมบัติการแยกแยะของตัวดำเนินการทอดด์
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
ล้วนเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิด (และมีประสิทธิผล) แง่มุมที่แตกต่างกันของความเป็นคู่ของ Appell และสามารถสรุปได้ผ่านการแปลง Mellin
นี่ไม่ใช่เรื่องราวทั้งหมด - ความสัมพันธ์ดำเนินไปอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นผ่านพีชคณิต Weyl, Graves / Lie / Pincherle commutator และบันได - แต่มุมมองนี้นำไปสู่การสำรวจเพิ่มเติมที่ประสบผลสำเร็จแล้ว ตัวอย่างเช่นเราได้รับการบูตในขีด จำกัด เป็น$n \to +\infty$ สำหรับการแยกแยะผลรวมฟังก์ชัน Hurwitz zeta ที่ปรับเปลี่ยนเป็นลักษณะทั่วไป (การแก้ไข) ของพหุนาม Bernoulli
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
ซึ่งสืบทอดคุณสมบัติของลำดับแอพเพิลของพหุนาม
สมการ 'เงา' ค่อนข้าง จำกัด เนื่องจากถือว่าค่า FT ของ $f(x)$มีอยู่ซึ่งไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับคุณสมบัติการแยกแยะที่จะนำไปใช้ เช่นทราบ Laplace transform คล้ายสูตรอาเบล Plana
ด้วยการปรับมาตรฐานที่แตกต่างกันสำหรับ FT
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
และ
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
การกำหนดลักษณะการกระทำของตัวดำเนินการทอดด์โดยใช้การแก้ไขการแปลง Mellinแทนลารามานุจัน / ฮาร์ดี้ให้เส้นทางอื่นที่สร้างสรรค์ไปยังฟังก์ชัน Hurwitz zeta:
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
ชุดขยายสำหรับฟังก์ชัน Appell Bernoulli สำหรับจริงหรือซับซ้อนทั้งหมด $s$ และจริงหรือซับซ้อน $z$ ด้วย $|z-1| < 1$ ได้รับจากการขยายทวินามสะดือ
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
ที่ไหน
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
ด้วย $\zeta(s)$ฟังก์ชัน Riemann zeta