แคลคูลัสของ Spivak: บทที่ 3 ปัญหา 24b

Aug 15 2020

24b) สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่ทุกตัวเลข $b$ สามารถเขียนได้ $b = f(a)$ สำหรับจำนวนจริง $a$. พิสูจน์ว่ามีฟังก์ชั่น$g$ ดังนั้น $f \circ g = I$

ฉันคิดว่าฉันเข้าใจคำถามนี้และจะแก้ได้อย่างไร แต่ฉันกำลังดิ้นรนเพื่อหาวิธีแสดงคำตอบด้วยวิธีที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ $f$ไม่ได้ฉีด นี่คือความคิดของฉัน:

ก่อนอื่นถ้า $f$ เป็นแบบฉีดแล้วมันเป็นเรื่องเล็กน้อย

ปล่อย $g(x) = a$, ที่ไหน $x = f(a)$ สำหรับใด ๆ $a \in \text{domain}(f)$

ตั้งแต่ $f$ เป็นแบบฉีดตามคำจำกัดความมีเพียงค่าเดียวของ $a$ ที่น่าพอใจ $x = f(a)$ แต่ละ $x$, ซึ่งหมายความว่า $g$ถูกกำหนดไว้อย่างดี และ$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (ตามความหมายของ $g$) ซึ่งจากข้อสันนิษฐานในคำถามคือ $\mathbb{R}$. นอกจากนี้$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, ตั้งแต่ $f$ และ $g$เป็นยาฉีด (แต่ข้อเท็จจริงนั้นไม่สำคัญ) ดังนั้น$f(g(x))$ ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน $x ∈ \mathbb{R}$. สุดท้าย$f(g(x))$ = $f(a)$, ที่ไหน $x = f(a)$ สำหรับ $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.

แต่ตอนนี้ถ้า $f$ไม่ใช่การฉีดยามันจะซับซ้อนมากขึ้น ถ้าฉันยังคงนิยามเดิมของฉันคือ$g$, เป็น "$g(x) = a$, ที่ไหน $x = f(a)$ สำหรับใด ๆ $a \in \text{domain}(f)$"แล้วก็ไม่ได้ผลเพราะ $g$ไม่ใช่ฟังก์ชันอีกต่อไป เพราะตั้งแต่$f$ ไม่ใช่แบบฉีดมีอยู่อย่างน้อย 2 หมายเลข $z$ และ $w$ ดังนั้น $z \neq w$ แต่ $f(z) = f(w)$ซึ่งหมายความว่ามีอยู่ $x$ ดังนั้น: $g(x) = z = w$.

ฉันคิดว่าแนวคิดคือการกำหนดนิยามใหม่ $g$ เพียงแค่ "เลือก" อย่างใดอย่างหนึ่ง $z$ หรือ $w$และกำหนดให้ $x$. ตัวอย่างเช่นสามารถเลือกขนาดเล็กของทั้งสอง ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่จะทำให้ตอนนี้คือ$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, แทน $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. แต่เนื่องจากข้อเท็จจริงนั้นไม่สำคัญมาก่อนข้อสรุปในคำถามยังคงมีอยู่

นี่คือคำถามของฉัน ฉันจะเขียนคำจำกัดความของ$g$ ที่ "เลือก" ที่เล็กกว่าของ $z$ หรือ $w$เหรอ? นอกจากนี้จำได้ว่ามีตัวเลข z และ w อย่างน้อย 2 ตัว อาจมีจำนวนมากกว่านั้นตามอำเภอใจ$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$และอื่น ๆ และนั่นเป็นเพียงหนึ่งในขอบเขตของค่านิยมทั่วไป$f$สามารถทำได้ อาจมีชุดตัวเลขที่แตกต่างกัน$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ และอื่น ๆ ที่ไม่เท่ากับ $f(z)$ฯลฯ

สิ่งนี้เริ่มยุ่งเหยิงมาก ฉันจะแสดงออกได้อย่างไร$g$ ทางคณิตศาสตร์?

คำตอบ

EikeSchulte Aug 16 2020 at 09:34

ความเข้าใจผิดที่คุณสังเกตเห็นเป็นเรื่องจริงทำได้ดีมากสำหรับการระบุ! สิ่งที่คุณถูกขอให้แสดงนั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็นสัจพจน์ของการเลือกจำนวนจริง มันเป็นสัจพจน์เพราะคุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ (เวอร์ชันทั่วไป) จากสัจพจน์อื่น ๆ ของทฤษฎีเซตแม้ว่ามันจะดูสมเหตุสมผลก็ตาม

ดังนั้นคุณมีสองทางเลือก:

  • คุณสามารถสรุปได้ว่าคำจำกัดความของคุณมีปัญหานี้และโดยพื้นฐานแล้วพูดว่า:“ เอาละเลือกตัวเลือกใดก็ได้ไม่มีอะไรแปลกให้ดูที่นี่”
  • คุณสามารถเรียกใช้สัจพจน์ที่เลือกได้ มันบอกว่า (ตรงจากบทความ Wikipedia): สำหรับตระกูลที่จัดทำดัชนี$(S_i)_{i\in I}$ ของชุดที่ไม่ว่างเปล่า (โดยที่ $I$ เป็นชุดการจัดทำดัชนี) มีครอบครัวหนึ่ง $(x_i)_{i\in I}$ ดังนั้น $x_i \in S_i$ สำหรับทุกๆ $i\in I$. ฉันฝากไว้ให้คุณเพื่อหาวิธีรับข้อเรียกร้องของ Spivak (อันที่จริงการกำหนดสัจพจน์ที่ฉันชอบที่สุดคือสิ่งที่คุณต้องพิสูจน์ แต่ไม่ จำกัด เฉพาะตัวเลข)
Noname Aug 17 2020 at 03:06

สมมติว่ามีฟังก์ชันตัวเลือกที่ชัดเจน $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.

ปล่อย $A \subset \mathbb{R}$. ตามความหมาย$C(A) = r$ สำหรับบางคน $r \in \mathbb{R}$.

โปรดทราบว่าถ้า $A \subset \mathbb{R}$แล้วชัดเจน: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.

ตอนนี้กำหนดฟังก์ชัน $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ เรียกซ้ำดังนี้:

$A_1(A)$ = $A$

$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$

$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$

ฯลฯ ฯลฯ

อย่างเป็นทางการ:

  1. $A_1(A)$ = $A$

  2. ถ้า $A = \emptyset$จากนั้น: $A_n(\emptyset) = \emptyset$

  3. ถ้า $A \neq \emptyset$จากนั้น: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่ฉันทำคือการใช้ฟังก์ชันตัวเลือก $C$ ถึง $A$ เพื่อเลือกจำนวนจริงเฉพาะ $r_1$ ใน $A$จากนั้นกำหนด $A_2$ เป็นชุด {$A$ หายไป $r_1$} แล้วสมัคร $C$ ถึง $A_2$ เพื่อเลือกจำนวนจริงอื่น $r_2$ ใน $A$จากนั้นกำหนด $A_3$ เป็นชุด {$A$ หายไป ($r_1$ และ $r_2$)} ฯลฯ เป็นต้น

ตกลงตอนนี้กำหนดฟังก์ชันอื่น $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ โดยใช้ฟังก์ชันตัวเลือกเดิม $C$ และใหม่ $A_n$ ฟังก์ชั่นดังนี้:

$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$

ฟังก์ชั่นนี้ $Z$มีความพิเศษมาก ทุกองค์ประกอบ$r \in A$ สอดคล้องกับค่าเฉพาะของ $Z(r)$. ในคำอื่น ๆ$Z$ มีความสามารถในการแมปทุกองค์ประกอบของจำนวนจริงส่วนย่อยกับจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกัน $n$.

ฉันรู้สึกว่าต้นเสียงจะมีอะไรจะพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ ...

Noname Aug 21 2020 at 02:53

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชั่นที่ไม่ฉีด $f$ สามารถเขียนเป็น $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ ที่ไหน $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ และ $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.

กำหนด $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$

กำหนด $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$

$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, ที่ไหน $Z \in \mathbb{N}$ หรือ $Z = \infty$

ตอนนี้ใช้ AoC: สร้างชุดใหม่ $\hat A$ ซึ่งมีคู่ที่สั่งซื้อเพียงคู่เดียว $(x_{a+ni},f_{ni})$ จากแต่ละ $A_n$.

กำหนด $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$

สุดท้ายกำหนด $g(x) = a$, ที่ไหน $(a,x) \in f_{\text{injective}}$