คำขออ้างอิง: การสรุปทั่วไปหลายมิติของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
$\newcommand\R{\mathbb R}$ปล่อย $f\colon\R^p\to\R$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สำหรับ$u=(u_1,\dots,u_p)$ และ $v=(v_1,\dots,v_p)$ ใน $\R^p$, ปล่อย $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ ปล่อย $F\colon\R^p\to\R$ เป็น antiderivative ใด ๆ ของ $f$ในแง่ที่ว่า $$D_1\cdots D_p F=f,$$ ที่ไหน $D_j$ เป็นตัวดำเนินการของความแตกต่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับ $j$th อาร์กิวเมนต์; สันนิษฐานว่าผลลัพธ์ของความแตกต่างบางส่วนที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ย่อย ปล่อย$[p]:=\{1,\dots,p\}$. สำหรับแต่ละชุด$J\subseteq[p]$, ปล่อย $|J|$ แสดงถึงความสำคัญของ $J$.
จากนั้นจึงไม่ยากที่จะสร้างการสรุปทั่วไปหลายมิติต่อไปนี้ของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส (เลมมา5.1 ): \ begin {สมการ} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {สมการ}ที่ไหน$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
มีใครเห็นข้อความนี้หรือคล้าย ๆ กันในที่อื่นบ้าง? (ฉันแค่ถามเกี่ยวกับการอ้างอิงไม่ใช่การพิสูจน์)
คำตอบ
สำหรับข้อเท็จจริงเบื้องต้นเช่นนี้ซึ่งอาจได้รับการคิดค้นขึ้นใหม่เป็นพันครั้งมันยากที่จะหากระดาษแผ่นแรกที่สิ่งนี้ปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตามขอฉันให้บริบทที่ขาดหายไป มีอุตสาหกรรมทั้งหมดในทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงสร้างสรรค์และกลศาสตร์ทางสถิติเกี่ยวกับสูตรการแก้ไข "อัจฉริยะ" ที่เกี่ยวข้องหรือสูตรเทย์เลอร์ที่มีเศษเหลือ เหล่านี้จะถูกนำมาใช้ในการดำเนินการที่เรียกว่าการขยายคลัสเตอร์ สำหรับตัวตนของ OP นั้นไม่มีการสูญเสียทั่วไปในการรับ$u=(0,0,\ldots,0)$ และ $v=(1,1,\ldots,1)$. ในกรณีนี้ผ่านMöbiusผกผันในช่องตาข่ายบูลีนสูตรมาจากเอกลักษณ์ต่อไปนี้
ปล่อย $L$เป็นชุดที่ จำกัด ปล่อย$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ เป็นฟังก์ชั่นที่ราบรื่นเพียงพอและปล่อยให้ $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$แล้ว $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ ที่ไหน $\psi_A(\mathbf{h})$ เป็นองค์ประกอบ $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ ของ $\mathbb{R}^L$ กำหนดจากองค์ประกอบ $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ ใน $[0,1]^A$ ตามกฎ: $x_{\ell}=0$ ถ้า $\ell\notin A$ และ $x_{\ell}=h_{\ell}$ ถ้า $\ell\in A$. แน่นอนว่าต้อง 1) ใช้สิ่งนี้กับทุกคน$L$ซึ่งเป็นส่วนย่อยของ $[p]$, 2) ใช้Möbiusผกผันในโครงตาข่ายบูลีนและ 3) เชี่ยวชาญ $L=[p]$และสิ่งนี้ทำให้ตัวตนของ OP
สูตรข้างต้นเป็นสูตรที่ไร้เดียงสาที่สุดที่ใช้ในการขยายคลัสเตอร์ "คู่ของคิวบ์" ดูสูตร III.1 ในบทความ
A. Abdesselam โวลต์และ Rivasseau, "ต้นไม้ป่าไม้และป่า: สวนพฤกษศาสตร์สำหรับการขยายคลัสเตอร์"
นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเป็นคำพูดในหน้า 115 ของหนังสือเล่มนี้
V. Rivasseau, "From Perturbative to Constructive Renormalization" .
ตอนนี้สูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรที่ทรงพลังกว่ามากนั่นคือ Lemma 1 นิ้ว
A. Abdesselam และ V. Rivasseau, "การขยายคลัสเตอร์แบบหลายสาขาขนาดใหญ่และขนาดเล็กอย่างชัดเจน" ,
โดยที่หนึ่งผลรวมมากกว่าลำดับที่ "อนุญาต" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ ของความยาวโดยพลการขององค์ประกอบของ $L$แทนที่จะเป็นส่วนย่อยของ $L$. แนวคิดเรื่องการอนุญาตนั้นขึ้นอยู่กับกฎการหยุดโดยพลการ ข้อมูลประจำตัวข้างต้นสอดคล้องกับ "อนุญาต"$=$"โดยไม่ซ้ำ" หรือกฎการหยุดที่ไม่ควรใช้กับ $\ell$ในตอนท้ายของลำดับที่ปรากฏขึ้นแล้ว การเล่นกับกฎการหยุดแบบนี้เราสามารถใช้ Lemma 1 ในบทความของฉันกับ Rivasseau เพื่อพิสูจน์สูตร Hermite-Genocchi สูตร anisotropic Taylor โดย Hairer ในภาคผนวก A ของ"ทฤษฎีโครงสร้างความสม่ำเสมอ"และอื่น ๆ อีกมากมาย . เมื่อไหร่$f$ เป็นเลขชี้กำลังของรูปแบบเชิงเส้นตัวอย่างหนึ่งสามารถได้รับอัตลักษณ์ทางพีชคณิตต่างๆเช่นเดียวกับในโพสต์ MO
เอกลักษณ์ของฟังก์ชันที่มีเหตุผล
ข้อมูลประจำตัวที่เกี่ยวข้องกับผลรวมมากกว่าการเรียงสับเปลี่ยน
ฉันลืมพูดถึงเราสามารถใช้เลมมา 1 เพื่อหาสูตรเทย์เลอร์จากแคลคูลัส 1 ซึ่งสอดคล้อง $L$ มีองค์ประกอบเดียวและกำหนดลำดับที่อนุญาตเป็นลำดับที่มีความยาวมากที่สุด $n$. ดู
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
$p=2$กรณีมิติเป็นแบบฝึกหัดในตำราแคลคูลัสของ Rogawski เป็นแบบฝึกหัด 47 ในหน้า 885 ส่วนที่ 15.1 (การรวมในตัวแปรหลายตัวแปร) ในฉบับ Early Transcendentals 2008