ขั้นตอนในการพิสูจน์ Riemann Sums จาก Spivak Calculus

Aug 17 2020

ผมทำงานออกหลักฐานในสปิแว็กของแคลคูลัส (2008) - หน้า 279 ต่อไปนี้เป็นภาพหน้าจอของส่วนหนึ่งของหลักฐานที่ฉันมีปัญหา

คำถามของฉันคือการรวมขั้นตอนที่ 1,2 และ 3 อย่างถูกต้อง ฉันต้องการไปถึงที่

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

เมื่อเล่นกับสมการ 2 ฉันจะได้ฟอร์มอะไรสักอย่าง

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

สิ่งเดียวกันจะเกิดขึ้นสำหรับ $\int_{a}^{b}f(x) dx$. ตอนนี้ใช้แนวคิดนี้ฉันได้รับบางอย่างในรูปแบบ:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

นี่คือปัญหาของฉันฉันไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอน $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. ไม่มีสิ่งใดที่ฉันสามารถบอกเป็นนัยได้และด้วยเหตุนี้ฉันจึงไม่สามารถสรุปได้$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. ซึ่งจะทำให้ฉันเสร็จสิ้นการพิสูจน์ในส่วนนี้ จากประสบการณ์ฉันรู้ว่ามันเป็นเรื่องพีชคณิตเล็กน้อยที่ฉันขาดหายไป แต่ฉันคิดว่าฉันเหนื่อยล้าทางจิตใจและไม่เห็นมัน ความช่วยเหลือบางอย่างจะดี

คำตอบ

3 Koro Aug 17 2020 at 05:44

คำแนะนำ : คูณสมการ$(3)$ โดย $-1$ และเพิ่มลงในสมการ $(2)$ ที่จะได้รับ:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามี $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, เพราะอะไร $|y|\lt \epsilon$

2 Matematleta Aug 17 2020 at 06:06

$(2)$ และ $(3)$ หมายความว่าทั้งผลรวมและอินทิกรัลอยู่ระหว่าง $L(f,P)$ และ $U(f,P)$ ดังนั้นความแตกต่างที่แน่นอนระหว่างพวกเขาต้องไม่เกิน $U(f,P)-L(f,P)$ และโดย $(1)$ นิพจน์หลังนี้น้อยกว่า $\epsilon.$