คำนวณโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของวัตถุที่หมุนประมาณ 2 แกน (เช่นโลก)
พิจารณาโลก มันหมุนรอบแกนของมันเอง (ผ่านเสา) ด้วยความเร็วเชิงมุม$\vec\omega$และรอบดวงอาทิตย์ด้วยความเร็วเชิงมุม $\vec\Omega$.
ในทุกตำรา / เว็บเพจที่ฉันเคยเห็นจนถึงตอนนี้ฉันได้เห็นโมเมนตัมเชิงมุมเนื่องจากการโคจรรอบดวงอาทิตย์ถูกคำนวณแยกจากโมเมนตัมเชิงมุมเนื่องจากการหมุนของโลกเกี่ยวกับแกนของมันเอง
เยี่ยมมาก แต่ฉันจะได้โมเมนตัมเชิงมุมที่สมบูรณ์ของโลกได้อย่างไร
ฉันทราบคำตอบต่อไปนี้: โมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนและการหมุนของร่างกาย (โลก)แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะตอบคำถาม คำตอบใช้ความเร็วเชิงมุม$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- แต่คุณจะได้ความเร็วนั้นได้อย่างไรถ้าวัตถุหมุนประมาณ 2 แกน? ทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์จะไม่นำไปใช้เนื่องจากแกนใดแกนหนึ่งไม่ได้อยู่บนวัตถุ
ดังนั้นฉันจะตั้งคำถามใหม่: ด้วยความเร็วเชิงมุมโคจร $\vec\Omega$ และความเร็วเชิงมุมเกี่ยวกับแกนโลก $\vec\omega$ฉันจะหาโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของโลกได้อย่างไร (หรือวัตถุที่แสดงคำอธิบายการหมุนที่คล้ายกันโดยมีแกนหมุน 1 แกนบนร่างกายอีกชิ้นหนึ่งปิด)
คำตอบ
ขั้นแรกให้พิจารณาว่าการหมุนของโลกทำมุมกับแกนวงโคจร
ที่นี่ $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
การหมุนแบบรวม (กำหนดชื่อเรื่องเกี่ยวกับแกนxเชิงลบจากด้านบน) คือ
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
ซึ่งสามารถแปลเป็นไฟล์
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
สิ่งที่น่าสนใจคือคุณสามารถคำนวณจุดศูนย์กลางการหมุนของโลกได้ทันทีเมื่อเทียบกับโลก $(c_y,c_z)$ ($c_z$แสดงเป็นลบด้านล่าง) นี่คือจุดที่โลกกำลังหมุนอยู่จริงๆ
ในการหาจุดคำนวณความเร็วในการโคจร ( แกนxบวกอยู่นอกหน้า)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
แล้วจุดศูนย์กลางของการหมุน
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
ซึ่งน่าสนใจเมื่อพิจารณาจากหน่วยระยะทางดวงจันทร์ (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
ซึ่งเกือบจะเป็นหนึ่ง LD ต่อดวงอาทิตย์เสมอและครึ่งหนึ่งของ LD อยู่ใต้พื้นโลกในช่วงฤดูร้อนและครึ่งหนึ่งของ LD ทั่วโลกในฤดูหนาว
ตอนนี้จลนศาสตร์ของโลกถูกสร้างขึ้นแล้วเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับพลวัตได้
โลกกำลังหมุนด้วย $\vec{w}$ โมเมนตัมเชิงมุมของมันที่ใจกลางโลกก็เช่นกัน $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ ที่ไหน ${\rm I}_E$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยของโลก
แต่เนื่องจากโลกกำลังแปลความหมายด้วยจึงมีโมเมนตัมเชิงเส้น $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
ในการคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมของโลกเกี่ยวกับดวงอาทิตย์จากนั้นเราจะรวมปริมาณทั้งสองเข้ากับกฎต่อไปนี้
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
หากคุณทำการคำนวณคุณจะพบว่าโมเมนตัมเชิงมุมส่วนใหญ่ตามแกนzโดยมีส่วนประกอบเล็ก ๆ ตามแกนy
สิ่งที่น่าสนใจคือคุณสามารถค้นหาตำแหน่งในอวกาศที่แกนของการกระทบของโลกเคลื่อนผ่าน ในทำนองเดียวกันกับข้างต้นประเด็นนี้คือ
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
ความสำคัญของจุดนี้ในอวกาศคือถ้าคุณใช้โมเมนตัมที่เท่ากันและตรงกันข้าม $\vec{p}$มายังพื้นโลกโดยผ่านจุดศูนย์กลางของการกระทบโลกจะไม่เพียงหยุดการโคจร แต่ยังหยุดหมุนอีกด้วย คุณสามารถขจัดพลังงานจลน์ทั้งหมดของโลกด้วยแรงกระตุ้นเพียงครั้งเดียวผ่านจุดนี้ มันจะหยุดโลกบนรางของมัน
น่าแปลกที่กฎในการเพิ่มความเร็วเชิงมุมสองค่าไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่า "แกนของความเร็วเชิงมุม" เหล่านี้ผ่านวัตถุหรือไม่และตัดกันหรือไม่
ความเร็วเชิงมุมของร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกกรอบอ้างอิงเฉื่อย สมมติว่าเรามีลูกศรติดอยู่ที่ลำตัว ในขณะนี้$t_0$ ลูกศรนี้ชี้ไปยังดวงดาวที่อยู่ห่างไกล $A$; ในขณะนี้$t_1$ ลูกศรนี้ชี้ไปยังดาวที่อยู่ห่างไกลอีกดวงหนึ่ง $B$- ถ้าเป็นจริงก็จะเป็นจริงมากกว่าที่เป็นจริงในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด และการวางแนวของร่างกายเปลี่ยนไปเร็วแค่ไหน - ไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง (ตราบใดที่กรอบอ้างอิงเฉื่อย)
ทีนี้มาวัดความเร็วเชิงมุมทั้งหมดของโลก เป็นไปได้ก่อนที่จะวัดในกรอบอ้างอิงที่ติดกับดวงอาทิตย์และหมุนในลักษณะนี้เพื่อให้ความเร็วของโลกเป็นศูนย์ สมมติว่าความเร็วเชิงมุมของโลกในกรอบอ้างอิงนี้คือ$\vec\omega$. ความเร็วเชิงมุมของกรอบอ้างอิงคือ$\vec\Omega$ดังนั้นความเร็วเชิงมุมทั้งหมดของโลกคือ $\vec\omega + \vec\Omega$. เป็นเวกเตอร์ที่มุ่งตรงไปยังดาวขั้วโลกมีขนาดประมาณ$1/86164sec$ - โดยที่ 86164 เป็นจำนวนวินาทีในวันข้างจริงนั่นคือช่วงเวลาของการหมุนของโลกเทียบกับดวงดาวที่อยู่ห่างไกล
ต่อไปนี้เป็นส่วนที่สองของคำถามของคุณ: "ในทุกหน้าหนังสือเรียน / เว็บเพจที่ฉันเคยเห็นมาจนถึงตอนนี้ฉันได้เห็นโมเมนตัมเชิงมุมเนื่องจากการโคจรรอบดวงอาทิตย์ซึ่งคำนวณแยกจากโมเมนตัมเชิงมุมเนื่องจากการหมุนของโลกเกี่ยวกับแกนของตัวเอง "
เวลานี้กรอบอ้างอิงติดกับดวงอาทิตย์และมันเฉื่อย วิธีที่ "ยุติธรรม" ในการคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดของโลกในกรอบการอ้างอิงนี้คือการแบ่งโลกออกเป็นส่วนเล็ก ๆ คำนวณโมเมนตัมของแต่ละส่วนและสรุปผลลัพธ์ วิธีที่ง่ายกว่าคือการคำนวณโมเมนตัมรอบจุดศูนย์กลางมวลของโลกมากกว่าการคำนวณโมเมนตัมของโลกราวกับว่ามวลทั้งหมดตั้งอยู่ในจุดศูนย์กลางมวลและบวกเวกเตอร์สองตัวนี้ ผลลัพธ์ทั้งหมดจะเหมือนกัน - เป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์อย่างง่าย
โปรดทราบว่าโมเมนตัมเนื่องจากการหมุนของโลกรอบแกนของมันมีขนาดเล็กกว่ามากแล้วโมเมนตัมเนื่องจากการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ ที่สำคัญไม่เพียง แต่โมเมนตัมทั้งหมดของ Erath (นั่นคือผลรวมของเวกเตอร์สองตัวนี้) จะคงที่ตามเวลาส่วนประกอบเหล่านี้แต่ละส่วนยังคงที่ในตัวเอง! (เราไม่สนใจอิทธิพลของดวงจันทร์และดาวเคราะห์ดวงอื่น) ดังนั้นหากคุณต้องการคำนวณรายละเอียดว่าความเร็วของโลกขึ้นอยู่กับระยะทางถึงดวงอาทิตย์อย่างไร (กฎของ Keppler) คุณสามารถเพิกเฉยต่อส่วน "การหมุนรอบแกนของตัวเอง" ของโมเมนตัมเชิงมุมของโลกได้อย่างปลอดภัย