คำนวณปริพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันรูปไข่จาโคบี

Question

ฉันต้องการประเมินผลการติดตาม $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ และ $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ ที่ไหน $\text{sn}$, $\text{dn}$ และ $\text{cn}$เป็นรูปไข่ Jacobi snoidal , dnoidalและcnoidalฟังก์ชั่น$K:=K(k)$ เป็นอินทิกรัลรูปไข่ที่สมบูรณ์ของชนิดและตัวเลขแรก $k \in \left(0,1\right)$ เรียกว่าโมดูลัส

ฉันได้ปรึกษาการอ้างอิงแล้ว $[1]$ในการค้นหาสูตรบางอย่างที่ช่วยฉัน แต่ฉันไม่พบอะไรเลย ปริพันธ์เหล่านี้มีรูปแบบที่ชัดเจนหรือไม่? มีข้อมูลอ้างอิงอื่น ๆ ที่ฉันสามารถอ้างถึงเพื่อช่วยฉันได้หรือไม่?

$[1]$PF เบิร์ด นพ. ฟรีดแมน. Hand Book of Elliptical Integrals สำหรับวิศวกรและ Scientis Springer-Verlag นิวยอร์กไฮเดลเบิร์กแบร์ลิม$1971$.

Answer 1

ด้วยความสัมพันธ์พื้นฐาน (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ เราสามารถแปลงอินทิกรัลแรกที่กำหนดให้เป็น $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ โดย B&F 364.03 เราสามารถเขียนสิ่งนี้ใหม่เป็นอินทิกรัลที่มีเหตุผลได้อย่างสมบูรณ์ซึ่งประเมินได้ง่าย: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ เมื่อเราแปลงอินทิกรัลตัวที่สองที่เราได้รับ $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ ณ จุดนั้นเราตระหนักดีว่านี่เป็นเพียงกรณีพิเศษของอินทิกรัลแรกที่กำหนดด้วย $k^2=1$ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ทันทีเป็น $\frac\pi{16}$.