คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่ต่อเนื่องกัน
ฉันได้ฟังก์ชั่นไฮเปอร์จีโอเมตริก $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ ที่ไหน $k \geq 1$ เป็นจำนวนเต็มและฉันเชื่อว่านี่เท่ากับ $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ ที่ไหน $p$ เป็นพหุนามของดีกรี $k-1$(Wolframalpha ยืนยันค่าสองสามตัวแรก) ฉันเข้าใจว่าสิ่งนี้จะต้องตามมาจากความสัมพันธ์บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่ต่อเนื่องกัน แต่ฉันไม่รู้วิธีและไม่มีข้อมูลอ้างอิงที่ดี (ห้องสมุดที่มหาวิทยาลัยของฉันปิดสำหรับ COVID-19) ที่จริงฉันไม่สนใจเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ในพหุนามเพราะฉันแค่พยายามแสดงว่าอินทิกรัล จำกัด มีใครบ้างที่สามารถทำให้ฉันถูกทาง?
ขอบคุณมาก Greg
คำตอบ
ตามมาจากการเปลี่ยนแปลงของออยเลอร์
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$
ในกรณีของคุณเรามี
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$
ตอนนี้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกใน RHS สามารถขยายได้เป็นอนุกรม จำกัด ของ $k$องค์ประกอบ สิ่งนี้สร้างพหุนามของเกรด$k-1$ระบุไว้ใน OP. ตามคำจำกัดความของอนุกรมกำลังตามปกติจะลดเป็น
$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$และอื่น ๆ สรุปพหุนามคือ
$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$
ที่ไหน $(z)_n$เป็นสัญลักษณ์ Pochhammer สำหรับการเพิ่มขึ้นของแฟกทอเรียล เราสรุปว่า
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$