คำถามเกี่ยวกับคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ของครอบครัวในหมวดหมู่

Question

ฉันกำลังศึกษาหมวดหมู่จากพีชคณิตโดย Thomas Hunger Ford และฉันมีคำถามเกี่ยวกับคำจำกัดความของหมวดหมู่:

คำถามของฉันคืออะไรผู้เขียนหมายถึงอะไรโดยแผนภาพนั้นคือการสับเปลี่ยน

ฉันไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไรแม้ว่าคำจำกัดความ $7.2$ ที่ระบุไว้ข้างต้นเป็นที่เข้าใจอย่างแท้จริง

กรุณาบอกว่าผู้เขียนหมายถึงอะไร

Answer 1

โดยทั่วไปความหมายคือสามเหลี่ยมแต่ละอันในแผนภาพแสดงถึงชุดขององค์ประกอบของมอร์ฟีนและความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น

แผนภาพนี้บอกเป็นนัยว่า $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. ในทำนองเดียวกัน:

แผนภาพนี้บอกเป็นนัยว่า $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.

รูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านี้ถือเป็นแผนภาพการสับเปลี่ยนและเรายังบอกด้วยว่าแผนภาพที่สร้างขึ้นโดยการ "ทุบ" เข้าด้วยกัน (ตามที่คุณแสดงไว้ในตอนแรก) นั้นมีการสับเปลี่ยนเช่นกัน

โดยทั่วไป: ในแผนภาพการสับเปลี่ยนเส้นทางใดก็ตามที่คุณใช้จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกันแสดงถึงความเท่าเทียมกันของการเรียงลำดับบางประเภท (ในทฤษฎีหมวดหมู่ความเท่าเทียมกันเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของมอร์ฟีน) สามเหลี่ยมแรกใช้สองเส้นทางจาก$B$ ถึง $A_1$ ตัวอย่างเช่นหนึ่งโดยตรงผ่านทาง $\varphi_1$ และอื่น ๆ ไปที่ $P$ ผ่าน $\varphi$และจากนั้นก็จะ$A_1$ ผ่าน $\pi_1$. ดังนั้นเราจึงเรียกร้อง$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. ที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับไดอะแกรมอื่น ๆ และไดอะแกรมสับเปลี่ยนโดยทั่วไป

มันทำให้เกิดสัญชาตญาณในการมองเห็นที่ดีว่าสิ่งเหล่านี้ทำงานอย่างไรและสามารถมองเห็นใช้ประโยชน์และปรับเปลี่ยนความเท่าเทียมกันได้อย่างไร

คุณสามารถค้นหาตัวอย่างเพิ่มเติมไดอะแกรมและคำอธิบายในบทความวิกิพีเดียที่นี่

Answer 2

แผนภาพคือการสับเปลี่ยน iff เมื่อเราดูลูกศรทั้งหมดที่สร้างขึ้นนั่นคือลูกศรทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้จากการเขียนลูกศรในแผนภาพเราจะเห็นลูกศรเพียงลูกเดียวระหว่างวัตถุสองชิ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเรากำลังมองหาที่หมวดหมู่ชุด พิจารณาวัตถุ$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$และแผนภาพ "สามเหลี่ยม" ประกอบด้วยลูกศร $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$แผนภาพนี้ไม่มีการสับเปลี่ยน: นอกเหนือจากลูกศรที่ชัดเจนในปัจจุบัน$f,g,h$ เรายังมีลูกศร "สร้าง" $g\circ f$. มีโดเมนและโคโดเมนเดียวกันกับ$h$แต่แตกต่างจาก $h$.

เร็วมากขึ้น:

สามเหลี่ยมสับเปลี่ยนเป็นตัวอย่างขององค์ประกอบลูกศร: ลูกศรที่กำหนด$f,g,h$ ที่ไหน $g\circ f$ ถูกกำหนดและมีแหล่งที่มาและเป้าหมายเดียวกันกับ $h$สามเหลี่ยมที่เกิดจาก $f,g,h$ เป็น iff แบบสับเปลี่ยน $g\circ f=h$.

มีแผนภาพการสับเปลี่ยนที่ซับซ้อนกว่านั้นอยู่ที่นั่น การครอบตัดกำลังสองบ่อย ๆ (ดูเช่น "สี่เหลี่ยมดึงกลับ"): โดยพื้นฐานแล้วสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสถานการณ์ที่เรามีลูกศร$f_1,f_2,f_3,f_4$ ดังนั้น $f_1$ และ $f_2$ มีแหล่งที่มาเดียวกันและ $f_3$ และ $f_4$ มีเป้าหมายเดียวกันและองค์ประกอบ $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ มี (กำหนดและ) เท่ากัน