คำถามเกี่ยวกับอนุพันธ์เศษส่วน

Jan 19 2021

ฉันไม่รู้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับแคลคูลัสเศษส่วนดังนั้นฉันจึงขออภัยล่วงหน้าหากคำถามต่อไปนี้เป็นคำถามโง่ ๆ ฉันได้ลองใช้ math.stackexchange แล้ว

ฉันแค่อยากจะถามว่ามีแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เศษส่วนที่เป็นเชิงเส้นและตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้หรือไม่ $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ ที่ไหน $\alpha$เป็นสเกลาร์ ในกรณีของอนุพันธ์มาตรฐานเราจะมี$\alpha = n$.

ขอบคุณมาก.

คำตอบ

16 TerryTao Jan 19 2021 at 08:15

โดยพื้นฐานแล้วไม่มีคำตอบที่น่าสนใจสำหรับสมการนี้นอกเหนือไปจากตัวดำเนินการคำสั่งแรกและซีโร ธ แม้ว่าจะกำหนดเพียงข้อ จำกัด ที่ระบุไว้สำหรับ $n=2$.

ครั้งแรกที่เราสามารถdepolariseสมมติฐาน$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ โดยการแทนที่ $f$ ด้วย $f+g, f-g$ สำหรับฟังก์ชั่นโดยพลการ $f,g$ และการลบ (แล้วหารด้วย $4$) เพื่อรับข้อมูลประจำตัวประเภท Leibniz ที่ยืดหยุ่นมากขึ้น $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

ตอนนี้มีสามกรณีขึ้นอยู่กับค่าของ $\alpha_2$:

  1. $\alpha_2 \neq 1,2$. ใช้ (2) กับ$f=g=1$ จากนั้นเราก็สรุปได้ว่า $D^u(1)=0$จากนั้นใช้ (2) อีกครั้งโดยใช้เพียงแค่ $g=1$ เราได้รับ $D^u(f)=0$. ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ$D^u=0$ ในกรณีนี้.
  2. $\alpha_2=2$. แล้ว$D^u$เป็นที่มาและโดยการเหนี่ยวนำเรามี$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$เช่นเดียวกับอนุพันธ์ธรรมดาเราก็มี $\alpha_n=n$ สำหรับทุกอย่าง $n$ โดยไม่มีพฤติกรรมที่เป็นเศษส่วน
  3. $\alpha_2=1$. ใช้ (2) กับ$g=1$ เราได้รับ (หลังจากพีชคณิตเล็กน้อย) $D^u(f) = mf$ ที่ไหน $m := D^u(1)$. ด้วยประการฉะนี้$D^u$ เป็นเพียงตัวดำเนินการตัวคูณซึ่งปฏิบัติตาม $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$ดังนั้น $\alpha_n=1$ สำหรับทุกอย่าง $n$.

ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบเชิงเส้นสำหรับสมการของคุณนอกเหนือจากอนุพันธ์ปกติ (เช่น $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ สำหรับสัญลักษณ์เรียบใด ๆ $a$) และตัวดำเนินการตัวคูณ $D^u(f) = mf$นั่นคือตัวดำเนินการคำสั่งแรกและตัวดำเนินการคำสั่ง zeroth

ในทางกลับกันอนุพันธ์เศษส่วน $D^u$ มักจะปฏิบัติตาม "กฎลูกโซ่เศษส่วน" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ สำหรับฟังก์ชั่นต่างๆที่ราบรื่น $F,f$ซึ่งเกิดข้อผิดพลาด $E$ปฏิบัติตามค่าประมาณที่ดีกว่าในช่องว่าง Sobolev ต่างๆมากกว่าอีกสองคำในสมการนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ$F(t) = t^n$เราจะมี $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ สำหรับข้อความแสดงข้อผิดพลาด "ดี" $E$. ตัวอย่างเช่นการ$u=n=2$ ด้วย $D$ อนุพันธ์ปกติเรามี $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ ด้วย $E$ผู้ดำเนินการ " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ โปรดทราบว่าข้อผิดพลาด $E$ ถูกควบคุมอย่างสม่ำเสมอโดย $C^1$ บรรทัดฐานของ $f$แต่อีกสองคำใน (3) ไม่ใช่ ดูคำตอบ MathOverflow ก่อนหน้าของฉันได้ที่https://mathoverflow.net/a/94039/766 สำหรับการอ้างอิงและการอภิปรายเพิ่มเติม

6 IosifPinelis Jan 19 2021 at 05:33

ดูเหมือนว่าคุณต้องการจริงๆ $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, ที่ไหน $\alpha$ เป็นสเกลาร์

ไม่มีเหตุผลใดที่จะเป็นจริงและนี่เป็นเท็จโดยทั่วไป เช่นสำหรับ$n=2$และRiemann - อนุพันธ์เศษส่วนของLiouvilleของ$f:=\exp$ ด้วย $u=1/2$, $a=0$และ $x>0$ เรามี $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ ในขณะที่ $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ ดังนั้น $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ ค่อนข้างแตกต่างจากค่าคงที่ใด ๆ

ยิ่งไปกว่านั้นคำว่า $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ ในนิพจน์สำหรับ $(D^u(f^n))(x)$ ที่นี่เทียบกับคำ $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ ในนิพจน์สำหรับ $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ ดูเหมือนว่าจะมีโอกาสน้อยมากที่อนุพันธ์เศษส่วนประเภทอื่น ๆ จะทำงานได้ตามที่คุณต้องการ

5 TomCopeland Jan 19 2021 at 05:02

สูตร Leibniz ทั่วไปที่ใช้ได้กับการรวมตัวแบบเศษส่วนแบบคลาสสิกคือ

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

ที่ไหน $D_L$ ทำหน้าที่ในฟังก์ชันทางด้านซ้ายของผลิตภัณฑ์และ $D_R$ในฟังก์ชั่นด้านขวา ดูตัวอย่างเช่นกฎไลบนิซและแอนะล็อกเชิงปริพันธ์สำหรับอนุพันธ์เศษส่วนผ่านสูตรการเปลี่ยนแปลงใหม่โดย Fugere, Gaboury และ Tremblay

กฎไลบนิซแบบทั่วไปนี้ใช้กับปริพันธ์เชิงปริพันธ์ที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่สมเหตุสมผลของพินเชอร์ลที่อธิบายไว้ใน "บทบาทของ Salvatore Pincherle ในการพัฒนาเศษส่วนของแคลคูลัส" โดย Francesco Mainardi และ Gianni Pagnini ซึ่งเป็นที่พึงพอใจของอนุพันธ์ตามปกติที่ยกให้เป็นกำลังหนึ่ง เชิงลบหรือเชิงบวก ตัวแทนของ op นี้ถูกนำเสนอในMSE-Q นี้และสามารถใช้เพื่อกำหนดจุดบรรจบ (ดูMO-Q นี้ ) และ fct ไฮเปอร์จีโอเมตริกปกติ

ตัวแทนเหล่านี้ของ $D^{\omega}$เป็นหัวใจสำคัญของคำจำกัดความของฟังก์ชันแกมมาออยเลอร์และเบต้าผ่านอินทิกรัลการสรุปทั่วไปของแฟกทอเรียลอินทิกรัลและสัมประสิทธิ์ทวินามอินทิกรัล (ดูคำตอบของฉันถึง / อ้างอิงในMO-Q นี้ ) ซึ่งนักวิจัยส่วนใหญ่มักใช้ในความพยายามทางคณิตศาสตร์ - - ขัดกับความคิดเห็นบางประการที่แสดงบน MO ดูตัวอย่างของครึ่งอนุพันธ์ในMO-Q นี้ (ซึ่งเห็นได้ชัดว่าผู้ใช้หลายคนสับสนกับตัวดำเนินการต่างหลอกที่กำหนดโดยการแปลงฟูเรียร์)