ค้นหาค่าสูงสุด / ต่ำสุดทั่วโลกในพื้นที่สี่เหลี่ยม
ค้นหาจุดสูงสุด / ต่ำสุดทั่วโลกของฟังก์ชันนี้:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอด:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
ฉันพยายามวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้และได้มาคือ:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
ฉันคำนวณอนุพันธ์บางส่วน:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
ดังนั้นฉันจึงเข้าใจจุดเดียวคือ $(3,4)$
ข้อใดไม่อยู่บนสี่เหลี่ยมผืนผ้า ... จึงไม่มีจุดสูงสุด / นาทีส่วนกลาง ฉันรู้สึกว่านี่เป็นแนวทางที่ไม่ถูกต้องฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ!
ขอขอบคุณ!
คำตอบ
หาจุดที่ $f_x = 0$ และ $f_y = 0$จะช่วยให้คุณทั้งหมดของ extrema ท้องถิ่นในการตกแต่งภายในของภูมิภาค$[-2, 3] \times [-1, 1]$กล่าวคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าเปิด $(-2, 3) \times (-1, 1)$. สิ่งที่คุณแสดงให้เห็นคือไม่มีสิ่งภายนอกในท้องถิ่นอยู่ภายใน อย่างไรก็ตามอาจยังมี maxima / minima อยู่ที่ขอบเขตของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในความเป็นจริงเพราะ$[-2, 3] \times [-1, 1]$ มีขนาดกะทัดรัดการวิเคราะห์บอกเราว่าเราสามารถหาค่าสูงสุดและต่ำสุดทั่วโลกได้)
ในการหาค่าสูงสุดและ minima ระดับโลกเหล่านี้คุณต้องดูว่าค่าใด $f$ ใช้ขอบเขตของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $[-2, 3] \times [-1, 1]$. เมื่อใดที่เล็กที่สุด / ใหญ่ที่สุด?
ตัวอย่างเช่นอันดับแรกเราอาจดูที่ขอบด้านล่างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า นี่คือชุดของคะแนน$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. ในภูมิภาคนี้หน้าที่ของเรา$f$ รับค่า
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
ตั้งแต่ $y$ ตลอดเวลา $-1$ที่ขอบด้านล่างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากที่นี่คุณสามารถใช้แคลคูลัสตัวแปรเดียวเพื่อคำนวณค่าของ$x$ ใน $[-2, 3]$ ซึ่ง $f$ น้อยที่สุด / สูงสุด
จากนั้นทำแบบเดียวกันกับด้านอื่น ๆ
(แก้ไข: เช่นเดียวกับที่คุณต้องตรวจสอบขอบของสี่เหลี่ยมนอกเหนือจากการตกแต่งภายในคุณต้องตรวจสอบ "ขอบ" ของด้านข้าง (เช่นมุมทั้งสี่) นอกเหนือจากด้านข้างด้วย! กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออย่า อย่าลืมว่าจะคำนวณ f ที่มุมทั้งสี่มุมหรือไม่และดูว่ามันให้จุดสุดขั้วหรือไม่)
ความจริงที่ว่าจุดที่คุณพบไม่ได้อยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าหมายความว่าหากดูที่ฟังก์ชันโดยรวมแล้วจุดสูงสุด / ต่ำสุดจะไม่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อย่างไรก็ตามเรากำลังดูเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันซึ่งเป็นส่วนที่ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หากคุณสามารถจินตนาการถึงกราฟของฟังก์ชันใด ๆ ที่ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมนั้นคุณจะสังเกตเห็นว่ามันมีค่าสูงสุดและต่ำสุดอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเส้นขอบ ในแคลคูลัสตัวแปรเดียวอธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทค่ามาก
ดังนั้นคุณควรหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของเส้นทั้งสี่ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของฟังก์ชันและระนาบ y = 1, y = -1, x = -2 และ x = 3 ระนาบนี้เป็นส่วนขยายของ ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หากคุณมีคำถามเพิ่มเติมเรายินดีให้ความช่วยเหลือ
คุณอยู่ในกรณีคลาสสิกที่เอกซ์เทรมาตั้งอยู่ที่ชายแดนดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะทำลายอนุพันธ์บางส่วน
คิดว่า geometricaly: ปัญหาของคุณเกี่ยวข้องกับจุดตัดของพาราโบลา $P$ ซึ่งมีจุดสูงสุดอยู่ใน $(3,4,100)$ และแกนที่กำหนดโดย $x=3,y=4$ และกล่อง $B$ ซึ่งจุดตัดกับระนาบ Oxy คือสิ่งที่คุณพบ
หมายเหตุ: สี่แยก $I=B \cap P$ คือการรวมกันของส่วนโค้งพาราโบลา
จุดต่ำสุดของ I จะอยู่ตามแกนแนวตั้ง $(x=3, y=1)$(ซึ่งใกล้เคียงกับแกนของ P มากที่สุด) ใส่ค่าเหล่านี้ลงในสมการเพื่อให้ได้$z_{min}=109$.
จุดสูงสุดของ I จะได้รับที่ขอบแนวตั้งของกล่องซึ่งอยู่ไกลที่สุดจากแกนของ P กล่าวคือมีพิกัด $(x=-2,y=-1)$. เสียบค่าเหล่านี้ลงในสมการอีกครั้งเพื่อให้ได้$z_{max}=150$.