ค้นหาความน่าจะเป็นที่วาล์วอย่างน้อยหนึ่งวาล์วชำรุดเมื่อสุ่มวาล์วสองตัว

Aug 19 2020

คำชี้แจงปัญหา:

  • โรงงาน A ผลิต $10\ \%$ วาล์วชำรุด
  • และโรงงานอื่น $B$ ผลิต $\mbox{$20 \ \%$}$ วาล์วชำรุด
  • ถุงประกอบด้วย $4$ วาล์วของโรงงาน $A$ และ $5$ วาล์วของโรงงาน B.
  • หากสุ่มวาล์วสองตัวออกจากถุงให้ค้นหาความเป็นไปได้ที่วาล์วอย่างน้อยหนึ่งตัวมีข้อบกพร่อง

คำถามนี้เคยถามที่นี่มาแล้วครั้งหนึ่ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่วาล์วอย่างน้อยหนึ่งวาล์วชำรุด

ตอนนี้ความน่าจะเป็นของการวาดวาล์วที่มีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งตัว) = 1- ความน่าจะเป็นที่วาล์วทั้งสองที่ดึงออกมาเป็นวาล์วที่ไม่มีข้อบกพร่อง
การใช้สิ่งนี้ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ$ =1-\left(\frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}}(0.9)^2+\frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}}(0.8)^2+\frac{\binom{4}{1}\binom{5}{1}}{\binom{9}{2}}(0.9)(0.8)\right)=\frac{517}{1800}, \label{1}\tag{1} $ ตามที่ OP ได้แสดงไว้ในโพสต์ที่เชื่อมโยงด้านบน

อย่างไรก็ตามนี่คือจุดที่ทำให้เกิดความสับสน:
อีกวิธีหนึ่งให้พิจารณาเหตุการณ์พิเศษร่วมกันต่อไปนี้:

  1. วาล์วทั้งสองชำรุดและมาจากโรงงาน $A$
  2. วาล์วทั้งสองชำรุดและมาจากโรงงาน $B$
  3. วาล์วทั้งสองมีข้อบกพร่อง (หนึ่งจาก $A$ และอื่น ๆ จาก $B$)
  4. วาล์วหนึ่งตัวถูกดึงออกมา $A$ และมีข้อบกพร่องในขณะที่อีกฝ่ายดึงออกมา $B$ และไม่มีข้อบกพร่อง
  5. วาล์วหนึ่งตัวถูกดึงออกมา $B$ และมีข้อบกพร่องในขณะที่อีกฝ่ายดึงออกมา $A$ และไม่มีข้อบกพร่อง

ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ = ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งระบุไว้ข้างต้น
ขอแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ระบุไว้ข้างต้นโดย$P(i)$, ที่ไหน $i=1,2,3,4,5$
$P(1)=\frac{^4C_2}{^9C_2}(0.1)^2\;\;,P(2)=\frac{^5C_2}{^9C_2}(0.2)^2\;\;,P(3)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.2)\;\;$
$P(4)=\frac{^4C_1\times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.8)\;\; ,P(5)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.9)(0.2)\;\;$
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $$P=\sum_{i=1}^{5}P(i)=1/600+1/90+1/90+2/45+1/10=303/1800 \label{2}\tag{2}$$

ฉันต้องการที่จะรู้ว่าทำไมคำตอบใน (\ เตะ {1}) และ (\ เตะ {2}) ดังกล่าวข้างต้นจะแตกต่างกัน ในความเป็นจริงในลิงค์ด้านบน OP ได้กล่าวถึงคำตอบที่ให้ไว้ในหนังสือของเขาคือ$303/1800$ในขณะที่ความคิดเห็นและคำตอบของโพสต์นั้นระบุว่าคำตอบนั้นผิด แต่$(2)$แสดงให้เห็นชัดเจนว่าไม่มีอะไรผิดปกติกับคำตอบ กรุณาช่วย. ขอบคุณ.

คำตอบ

2 inavda Aug 19 2020 at 06:47

ข้อผิดพลาดมาจากสองกรณีที่คุณพลาด:

  • วาล์วทั้งสองถูกดึงมาจาก $A$ และมีข้อบกพร่องอย่างใดอย่างหนึ่ง
  • วาล์วทั้งสองถูกดึงมาจาก $B$ และมีข้อบกพร่องอย่างใดอย่างหนึ่ง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นคือ $$ \frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.1 \times 0.9 \times 2 + \frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.2 \times 0.8 \times 2 = \frac{54+160}{1800} = \frac{214}{1800} = \frac{517}{1800} - \frac{303}{1800} \,.$$

คำตอบของ OP ถูกต้อง