ค้นหาความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ผิดปกติโดยมีมุมและพื้นที่ผิวที่ทราบ
ทราบ:
- ความยาว DC
- อัลฟ่า
- เบต้า
- พื้นผิว S
จำเป็น:
- ความสูง h
สำหรับอัลกอริทึมฉันต้องการวิธีแก้ปัญหานี้สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ เรียงลำดับของคำถามนี้ ( เมื่อพิจารณาจากหน้าจั่วสี่เหลี่ยมคางหมูที่รู้จักจะพบความสูงของอีกมุมหนึ่งและฐานเดียว แต่มีพื้นที่ต่างกัน ) แต่ไม่ใช่ด้วยข้อ จำกัด หน้าจั่ว
เช่นเดียวกับในคำถามนั้นฉันมีข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูขนาดใหญ่ที่มีมุมเท่ากันและ DC เช่นกัน แต่ฉันคิดว่าสิ่งเดียวที่ฉันได้รับจากมุมนั้นคือมุม
ทำให้สมองของฉันมีความสำคัญในขณะนี้โดยไม่ประสบความสำเร็จ ออกจากสูตรสำหรับพื้นผิว: S = h * ((AB + DC) / 2) ฉันสามารถลงเอยด้วยสูตร: h = (2 * S) / (AB + DC) แต่สิ่งนี้แทบจะไม่ช่วยเพราะฉันไม่ รู้ AB. สูตรที่ขึ้นอยู่กับมุมจะต้องใช้ทั้ง DC และ AB เสมอหรืออีกทางหนึ่งคือความยาวของขา
อีกแนวคิดหนึ่งที่ฉันมีคือการแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพราะการแก้ปัญหาดูเหมือนจะง่ายกว่าสำหรับแต่ละรูปแบบ แต่หลังจากใช้ครึ่งหนึ่งของสิ่งนั้นฉันตระหนักว่าฉันไม่มีทางรู้ว่าพื้นที่ผิวที่ต้องการของแต่ละร่างจะเป็นเท่าใด ...
มีวิธีแก้ปัญหานี้หรือไม่? Huuge ขอบคุณล่วงหน้า!
คำตอบ
ดูเหมือนว่าปัญหานี้ทำได้ดีที่สุดโดยใช้ตรีโกณมิติ พิจารณา:
ลากเส้นแนวตั้งขึ้นจาก $D$ ถึงจุดหนึ่ง $E$ บน $AB$. ทำเช่นเดียวกันจากด้านล่าง$B$ ถึง $F$ บน $CD$.
พวกเรารู้ $\overline{DE}$ และ $\overline{BF}$ เท่ากับ h $\overline{BE}$ และ $\overline{DF}$ เป็นระยะทางที่ไม่รู้จัก $d$.
ดังที่คุณสังเกตเห็นว่าพื้นที่คือผลรวมของสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งก็คือ $$S = dh + S(\Delta BFC) + S(\Delta ADE)$$
และเราสามารถหาความยาวของกลุ่มใหม่ได้
$$\overline{CF} = \frac{h}{\tan \beta}$$ $$\overline{AE} = h \tan (\alpha - 90°) = h \tan \gamma$$
ฉันแค่โยนแกมม่าเป็นส่วนย่อยสำหรับอัลฟา - 90 °เพื่อความสะดวกในการอ่าน และทั้งหมดนี้หมายความว่า$$ S = dh + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
นั่นคือสมการหนึ่งในสองตัวแปร เราต้องการอีกอย่างน้อยหนึ่งอย่าง โชคดีที่เรารู้ความยาว$\overline{CD}$และจะต้องเป็น:
$$ \overline{CD} = d + \frac{h}{\tan \beta}$$
การเปลี่ยนตัวสุดท้ายสองครั้งให้
$$ S = h\left(\overline{CD}-\frac{h}{\tan \beta}\right) + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
$$ S = h\cdot\overline{CD } + h^2\left(\frac{1}{2}\tan \gamma - \frac{1}{2 \tan \beta}\right)$$
และผมจะไม่พูดถึงสมการกำลังสองที่ใช้ตัวแปรดังนั้นให้เสียบจำนวนจริงของคุณ ณ จุดนี้
หวังว่าจะช่วยได้! ไปตรวจสอบขั้นตอนของฉันอีกครั้งอย่างรวดเร็ว