ค้นหาผลรวมของชุดข้อมูล: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Question

ฉันมีปัญหากับทฤษฎีอนุกรม คำถามเฉพาะมีดังนี้\ begin {สมการ} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ end {สมการ}ความคิดของฉันเป็นแบบนี้ :

ตั้งแต่ $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} อย่างไรก็ตามคำตอบคือ cosh $x$. แนวคิดหลักขึ้นอยู่กับชุดพลังงานของ$e^x$ และ $e^{–x}$. จากนั้นเพิ่มเข้าด้วยกัน แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจว่าฉันทำอะไรผิด

ใครสามารถช่วยฉันได้โปรด ขอขอบคุณ.

Answer 1

สิ่งที่คุณทำผิดกำลังเปลี่ยนไป $(2n)!$ ถึง $2^nn!$.

คุณถูกต้องแล้ว $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

ดังนั้น $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ คือ $0$ เมื่อไหร่ $n$ เป็นเลขคี่และ $1$ เมื่อไหร่ $n$ เป็นคู่ดังนั้นนี่จึงกลายเป็น $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

Answer 2

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$