ค้นหาโซลูชันตัวเลขทั้ง 3 สำหรับ $x[(x-2)^2+1]=6$

Aug 18 2020

ค้นหาโซลูชันตัวเลขทั้ง 3 สำหรับ $x[(x-2)^2+1]=6$

ฉันใช้วิธีการลองผิดลองถูกเพื่อค้นหาโซลูชันจำนวนเต็มสำหรับ $x$และพบว่าทางออกที่เป็นไปได้ 1 วิธีคือ $x=3$. อย่างไรก็ตามมีโซลูชันที่ไม่ใช่จำนวนเต็มอีก 2 วิธีและฉันไม่รู้ว่าจะหาได้อย่างไร

ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือขอบคุณ

คำตอบ

2 SiongThyeGoh Aug 18 2020 at 16:30

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

คุณเพียงแค่ต้องตรวจสอบการเลือกปฏิบัติของ $x^2-x+2$ เป็นลบและสรุปว่าไม่มีรากที่แท้จริงอื่น ๆ

หากคุณสนใจที่จะค้นหารากอื่น ๆ คุณอาจต้องการใช้สูตรกำลังสองเพื่อค้นหารากที่เหลือ

YvesDaoust Aug 18 2020 at 16:51

โดยการศึกษาการทดลองและข้อผิดพลาด:

หากคุณคิดว่าแบบฝึกหัดมีวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายจำนวนเต็มก็มีแนวโน้ม $6$ ปัจจัยเป็น $2\cdot3$ และเนื่องจากปัจจัยที่สองคือกำลังสองสมบูรณ์บวกหนึ่งจึงออกกฎนี้ $3$. แล้ว$x=3$ คือบิงโก!

ตอนนี้เปลี่ยนสิ่งที่ไม่รู้จักด้วย $x:=z+3$เราได้รับ

$$z^3+5z^2+8z=0$$ หรือ $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ ความละเอียดซึ่งเป็นเรื่องง่าย

Bernard Aug 18 2020 at 16:52

กำลังมองหาคำตอบจำนวนเต็มสมการ $x[(x-2)^2+1]=6$ เทียบเท่ากับ $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ สมการที่สองในระบบแรกบอกเป็นนัยว่า $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. น่าเสียดายที่มอสสี่เหลี่ยมเดียว$3$ คือ $0$ และ $1$ดังนั้นระบบแรกนี้จึงไม่มีทางแก้ไข

สมการที่สองในระบบที่สองหมายถึง $(x-2)^2=1$เช่น $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. เท่านั้น$x=3$ เข้ากันได้กับสมการแรก

ดังนั้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มเดียว สำหรับคำตอบอื่น ๆ เราสามารถขยาย lhs เพื่อให้ได้สมการกำลังสองหารด้วย$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

สมการกำลังสอง $x^2-x+2=0$ มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อน: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$