ค้นหาสถิติที่เพียงพอ $Y$ สำหรับ $\theta$ จากนั้นค้นหาตัวประมาณค่าเบย์ $w(Y)$
ปล่อย $X_1,...,X_n$ เป็นตัวอย่างสุ่ม iid ที่มี pdf $\theta x^{\theta-1}1(0 < x \le 1)$
ค้นหาสถิติที่เพียงพอ $Y$ สำหรับ $\theta$ จากนั้นค้นหาตัวประมาณค่าเบย์ $w(Y)$ จากสถิตินี้โดยใช้ฟังก์ชันการสูญเสีย $L(\theta,a) = (a-\theta)^2$ โดยที่การแจกแจงก่อนหน้าเป็นเลขชี้กำลังพร้อมค่าเฉลี่ย $\frac{1}{\beta}$.
ความพอเพียงประการแรก:
ฟังก์ชันความเป็นไปได้คือ $\displaystyle L(\theta) = \Pi_{i = 1}^n\theta x_i^{\theta -1} = \theta^n(x_1\cdots x_n)^\theta(x_1\cdots x_n)^{-1}$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบเราสามารถทำได้ $Y = (x_1\cdots x_n)^{-1}$.
Bayes Estimator:
สำหรับการสูญเสียกำลังสองตัวประมาณค่า $w(Y) = \hat{\theta} = E[\theta \mid Y\,]$ คือค่าเฉลี่ยของด้านหลัง
สำหรับด้านหลังต้องแก้ก่อน $m(y) = \displaystyle \int_0^\infty \beta e^{-\beta \theta}y^{1-\theta}d\theta$นี่เป็นอินทิกรัลที่รู้จักกันดีหรือไม่? ฉันพยายามแก้ปัญหาโดยการเปลี่ยนตัว u แต่ฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง ฉันกำลังพยายาม$u = y^{-\theta}, du = -y^{-\theta}\log(y)d\theta$ แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันมองไม่เห็นวิธีการดูแล $e^{-\beta\theta}$.
ก่อนดำเนินการต่อขอขอบคุณที่ทราบว่าถูกต้องหรือไม่:
แก้ไข: $y^{-\theta} = e^{-\theta \log(y)}$ จึงเขียนใหม่เป็น $\displaystyle \beta y \int_{0^\infty}e^{-\theta(\beta + \log(y))}d\theta$ และตั้งค่า $u = -\theta(\beta + \log(y)) $
จากนั้นเราจะมี $\displaystyle -\frac{\beta y}{\beta + y}e^{-\theta(\beta + \log(y))} \bigg \vert_{\theta = 0}^\infty= \frac{\beta y}{\beta + y}$
ยังคงต้องการทราบว่านี่เป็นอินทิกรัลที่รู้จักกันดีหรือไม่
ตอนนี้ขั้นตอนต่อไปคือการแก้ปัญหา $\displaystyle E[\theta \mid Y] = \int_0^\infty \theta \frac{y+\beta}{\beta y}\beta e^{-\beta \theta}\theta^ny^{1-\theta}d\theta$แก้ไข? และสิ่งนี้จะให้ใช้ตัวประมาณค่าที่เราต้องการ
คำตอบ
การใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับ $\theta$ คือ $y=\prod_i X_i$. เนื่องจากฟังก์ชันนี้$g(\theta,t(\mathbf{x}))$ ขึ้นอยู่กับข้อมูลผ่านทางสถิติ "t = product" เท่านั้น
ฟังก์ชั่น $\frac{1}{\prod_{i}X_{i}}$ คุณระบุผิดเนื่องจากสถิติที่เพียงพอคือฟังก์ชันของ "x อย่างเดียว"
จากนั้นด้านหลังจะเป็นดังต่อไปนี้ (คำแนะนำ: เมื่อคำนวณด้านหลังทิ้งปริมาณใด ๆ ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ $\theta$)
$$\pi(\theta|y) \propto e^{-\beta \theta}\theta^n y^{\theta-1}$$
$$\propto e^{-\beta \theta}\theta^n e^{(\theta-1) log y}$$
$$\propto \theta^ne^{-(\beta-logy)\theta}$$
... เรารับรู้ได้ทันทีในการแจกแจงแกมมาด้านหลังนี้ ...
ตอนนี้คุณสามารถฆ่าปัญหาได้ด้วยตัวเองโดยไม่ต้องแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์