คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ Dot

Question

ฉันต้องการพิสูจน์หรือโต้แย้งการอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้:

ถ้าเราเอาเวกเตอร์สองตัว $\mathbf{v}_1$ และ $\mathbf{v}_2$ ใน $\mathbb{R}^{d}$ ($d$ ไม่จำเป็นต้องเป็น 2 ดังนั้นจึงไม่มีการพิสูจน์ทางเรขาคณิต) และมุมระหว่างพวกเขาซึ่งกำหนดโดย $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ การระงับดังต่อไปนี้:

1. สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ $\mathbf{u}$ เซนต์ $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ ถ้าเราแสดงว่า $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ และ $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ เราจะได้รับ $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ $\mathbf{u}$ เซนต์ $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ ถ้าเราแสดงว่า $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ และ $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ เราจะได้รับ $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

ฉันค่อนข้างมั่นใจในการถือครองข้างต้นเนื่องจากฉันใช้การจำลองตัวเลขจำนวนมากและดูเหมือนว่าจะถือได้กล่าวคือฉันเชื่อว่าการอ้างสิทธิ์จะต้องได้รับการพิสูจน์และไม่ขัดแย้ง

ฉันพยายามใช้นิยามพีชคณิตของโคไซน์กับเทคนิคพีชคณิตบางอย่าง (อสมการสามเหลี่ยม ฯลฯ ) แต่มันก็ไม่ได้ผลเช่นเดียวกันกับอสมการโคไซน์ทั่วไป (สำหรับเวกเตอร์)

Answer 1

ข้อเรียกร้องทั้งสองเป็นเท็จ เนื่องจากเราสามารถขอรับการเรียกร้องหนึ่งรายการจากอีกรายการหนึ่งได้$u$ โดย $-u$ก็เพียงพอที่จะหักล้างข้อเรียกร้องครั้งแรก

เลือกเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัว $u$ และ $v_1$ ดังนั้น $v_1^Tu>0$. ปล่อย$v_2=2v_1$. แล้ว$v_2^Tu>0$ แต่ $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมให้ \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} แล้ว $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ และด้วยเหตุนี้ $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ โดยการรบกวน $v_2$ ไปตามทิศทางที่เป็นปกติของตัวมันเองเล็กน้อยเราสามารถหาตัวอย่างการตอบโต้ได้เช่นกัน $v_1$ และ $v_2$ ไม่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น