คือ $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ แตกต่างได้ที่ $(0,0)$เหรอ? [ซ้ำ]

Question

ฟังก์ชันต่อไปนี้แตกต่างกันได้ที่ $(0,0)$เหรอ?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

ฉันพบว่าอนุพันธ์ย่อยทั้งสองคือ $0$จากนั้นพยายามคำนวณขีด จำกัด ต่อไปนี้:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

แล้วฉันก็ติด ฉันลองใช้ทฤษฎีบทการบีบ แต่ยังคำนวณไม่ได้

ฉันจะคำนวณขีด จำกัด นี้ได้อย่างไร?

Answer 1

มันไม่ต่อเนื่องที่ $(0,0)$. คำแนะนำ: $f(y^3,y)=\dfrac12$ ถ้า $y\ne0$.

Answer 2

จำไว้ว่าความต่อเนื่องเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความแตกต่างเนื่องจากความแตกต่างหมายถึงความต่อเนื่องและโดย$y^3=v \to 0$ โดยใช้พิกัดเชิงขั้วที่เรามี

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$