คือความหนาแน่นแบบไม่แสดงอาการของจำนวนเต็มบวก $n$ น่าพอใจ $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ เท่ากับศูนย์?

Question

(โพสต์นี้เป็นส่วนหนึ่งของคำถาม MSEนี้)

ปล่อย $\sigma(x)$ แสดงถึงผลรวมของตัวหารของ $x$. (https://oeis.org/A000203)

คำถาม

คือความหนาแน่นแบบไม่แสดงอาการของจำนวนเต็มบวก $n$ น่าพอใจ $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ เท่ากับศูนย์?

ฉันลองค้นหาตัวอย่างและตัวอย่างการตอบโต้ของสมการ $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$ผ่านSage Cell Serverมันให้ผลลัพธ์นี้สำหรับสคริปต์Pari-GPต่อไปนี้:

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

จำนวนเต็มบวกทั้งหมดจาก $1$ ถึง $100$ (ยกเว้นจำนวนเต็ม $99$) พอใจ $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

สรุปตัวอย่างแรก (ตัวนับ) ของ $99$ เป็นเรื่องเล็กน้อย

ถ้า ${3^2}\cdot{11} \parallel n$แล้ว $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ และ $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. ดังนั้นความหนาแน่นของ asymptotic ที่เป็นปัญหาจึงน้อยกว่า$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

นอกจากนี้ถ้า $3 \parallel n$แล้วด้วยความน่าจะเป็น $1$ มีสองช่วงเวลาที่แตกต่างกัน $y$ และ $z$ สอดคล้องกับ $1$ โมดูโล $3$ ดังนั้น $y \parallel n$ และ $z \parallel n$. ในกรณีนี้เราจะได้รับ$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ และ $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. ดังนั้นความหนาแน่นของ asymptotic ที่เป็นปัญหาจึงน้อยกว่า$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

ปัญหาเปิดที่แท้จริงคือความหนาแน่นของ asymptotic หรือไม่ $0$.

Answer 1

ฉันคิดว่าความหนาแน่นไปเป็นศูนย์ แต่ค่อนข้างช้า ถ้า$p \equiv 1 \bmod 6$ เป็นไพรม์แล้วมีสองวิธี $0<r<s<p-1$ ของ $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

ถ้า $p\parallel n$ จากนั้นด้วยความน่าจะเป็น $1,$ มีสองช่วงเวลาที่แตกต่างกัน $x $ และ $ y,$ แต่ละสอดคล้องกับ $r \bmod p,$ ด้วย $x \parallel n$ และ $y \parallel n.$ (อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างอาจสอดคล้องกับ $s$ เช่นกัน)

แล้ว $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ ในขณะที่ $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ ดังนั้นความหนาแน่นของ asymptotic ที่จะไม่เกิดขึ้นคือ $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

หากเราสามารถโต้แย้งได้ว่าโอกาสที่จะไม่มีเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นนั้นไม่มีอาการ $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ ในช่วงที่สอดคล้องกับ $1 \bmod 6,$ แล้วความหนาแน่นของ asymptotic ก็คือ $0.$