คือ $P(1)$ จริงหรือ?

Question

ฉันเพิ่งค้นพบหลักฐานปลอมนี้โดยการเหนี่ยวนำว่าจำนวนเต็มบวกทั้งหมดมีค่าเท่ากันจากThe Mathematical Gazette :

ปล่อย $P(n)$ เป็นโจทย์:

"ถ้าจำนวนเต็มบวกสูงสุดสองจำนวนคือ $n$ แล้วจำนวนเต็มจะเท่ากัน "

อย่างชัดเจน $P(1)$เป็นความจริง. สมมติว่า$P(n)$ เป็นความจริงสมมติว่า $u$ และ $v$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมีค่าสูงสุด $u$ และ $v$ คือ $n + 1$. จากนั้นสูงสุดของ$u - 1$ และ $v - 1$ คือ $n$, บังคับ $u - 1 = v - 1$ ตามความถูกต้องของ $P(n)$. ดังนั้น,$u = v$.

ฉันเห็นสิ่งนี้เกือบจะซ้ำกัน: ค้นหาข้อผิดพลาดในการรักษาต่อไปนี้และฉันเข้าใจ แต่ฉันได้โต้เถียงกับใครบางคน พวกเขาบอกว่ากรณีฐาน$P(1)$ในความเป็นจริงไม่เป็นความจริงเพราะทั้งสองจำนวนเต็มเหมือนกันอยู่แล้วหรือต่างกันและเฉพาะกรณีที่$P(1)$ เป็นความจริงโดยที่พวกเขาต้องเหมือนกันอยู่แล้วซึ่งในกรณีนี้เรายังไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย

ผมบอกว่ากรณีพิเศษ $n = 1$ บังคับให้ตัวเลขเหมือนกันซึ่งทำให้$P(1)$ จริง.

ใครถูกต้อง?

Answer 1

กรณีฐานถูกต้อง การเข้าใจผิดอยู่ในขั้นตอนการเหนี่ยวนำเมื่อคุณคิดอย่างนั้น$u-1$ และ $v-1$ เป็นจำนวนเต็มบวก