ความจำเป็นในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ชัดเจนและไม่สำคัญในตรีโกณมิติ?
ตอนนี้ฉันเรียนตรีโกณมิติชั้นมัธยมปีที่ 2 แต่นี่เป็นเพียงสิ่งที่อยู่ในใจฉัน
รูปด้านล่างแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$, ที่ไหน $\angle A = \alpha$, $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ หรือ $90^\circ$.
ตอนนี้ในตรีโกณมิติเบื้องต้นฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนหรือด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่น :$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
ในหนังสือเรียนฉันเรียนตรีโกณมิติจากเนื้อหาในสองสามหน้าแรก:
ตัวอย่างแรกมีดังนี้:
คุณได้รับสามเหลี่ยมสองรูป ให้สามเหลี่ยมเหล่านั้นเป็น$XYZ$ และ $PQR$. สามเหลี่ยมทั้งสองนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$. นอกจากนี้$\angle X = \angle P$. ให้มุมทั้งสองนี้เท่ากับ$\varphi$. ตอนนี้$XZ = 5 \text{ units}$, $YZ = 3 \text{ units}$ และ $PR = 10 \text{ units}$. หา$QR$.
วิธีแก้ปัญหามีดังนี้: $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$
ฉันคิดว่าก่อนหน้านี้ ข้อความต่อไปนี้ควรได้รับการพิสูจน์แล้ว:
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมไม่ซ้ำกันและไม่ขึ้นอยู่กับสามเหลี่ยมที่เลือก
ฉันไม่คิดว่าวิธีนี้จะใช้ได้ก่อนที่จะพิสูจน์ว่าไซน์ของ $\varphi$ที่ได้จากสามเหลี่ยมทั้งสองมีลักษณะเฉพาะ ข้อความที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ความคล้ายคลึงกัน แต่สิ่งที่ฉันต้องการถามในคำถามนี้คือ "ควรใช้ข้อความเช่นนี้ซึ่งถือว่าชัดเจนและไม่สำคัญต้องได้รับการพิสูจน์ก่อนที่จะลองใช้คำถามเช่นตัวอย่างที่ฉันให้ไว้และจะ วิธีแก้ไขตัวอย่างนี้จะแสดงผลว่าไม่ถูกต้องหากคำสั่งนี้ไม่ได้รับการพิสูจน์มาก่อน? "
ขอขอบคุณ!
คำตอบ
ก่อนที่คุณจะแนะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติคลาสจะจัดการกับความสอดคล้องและความคล้ายคลึงกัน รูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันมีด้านเท่ากันและมุมเท่ากันและรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีมุมเท่ากันในขณะที่ด้านข้างมีขนาดเท่ากัน$>0$. เมื่อนักเรียนยอมรับข้อเท็จจริงเหล่านี้ก็ไม่มีปัญหาเรื่องความเป็นเอกภาพของ$\sin\alpha$ เมื่อไหร่ $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$.
ปัญหาหลักของหลักสูตรคือการพึ่งพา "ความลับ" ระหว่างความยาวด้านข้างและมุม การพึ่งพาอาศัยกันนี้ไม่ได้รับการจัดการโดยเรขาคณิตยูคลิดเชิงสัจพจน์