ความเข้มข้นของบรรทัดฐานสำหรับ Sub-gaussians

Question

ฉันกำลังอ่าน Theorem 3.1.1 ในหนังสือ HDPโดย Vershynin ทฤษฎีบทระบุว่า

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

$\psi_2$ บรรทัดฐานคือบรรทัดฐาน Orlicz ที่มีฟังก์ชัน Orlicz $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

ฉันพบสถานที่ที่ฉันไม่เข้าใจในการพิสูจน์

หลักฐานทั้งหมดแสดงให้เห็นเท่านั้น $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $เป็นตัวแปรสุ่มย่อยเกาส์เซียน และในประโยคสุดท้ายผู้เขียนเพิ่งกล่าวว่ามันเทียบเท่ากับข้อสรุปของทฤษฎีบท

ฉันอยากจะถามเกี่ยวกับการเทียบเท่าในประโยคสุดท้าย

ฉันพยายามมองไปที่คุณสมบัติที่อยู่ตรงกลางของ sub-gaussian แต่ดูเหมือนว่า $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. คำใบ้หรือความคิดใด ๆ ที่ชื่นชม

Answer 1

ฉันเรียนหลักสูตร HDP จากหนังสือเล่มนี้และฉันคิดว่าผลลัพธ์เหล่านี้ก็ใช้เวลาสักพักเช่นกัน! มีเหตุผล "ความรู้สึกวนเวียน" เล็กน้อยที่คุณต้องทำซึ่งไม่ชัดเจน (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ในทันที ในระยะสั้นมีสองสิ่งที่เล่น:

1. ประการแรกจากการพิสูจน์เรามีอสมการความเข้มข้น $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ ซึ่งถือไว้สำหรับทุกคน $t \geq 0$. ดังที่คุณกล่าวถึงนี่หมายความว่าคำที่มีค่าสัมบูรณ์คือ sub-Gaussian ที่มีพารามิเตอร์$K^2$. จาก Proposition 2.5.2 เรารู้ว่ามีค่าเทียบเท่า (มากถึงค่าคงที่)$K_1=c_1K^2$ ดังนั้น $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
2. จากนิยามของบรรทัดฐาน Orlicz $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$ซึ่งระบุบรรทัดฐานว่าเป็นค่าบวกน้อยที่สุดหรือน้อยที่สุด$t$ ด้วย $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. จากนี้เราสรุปได้ว่าบรรทัดฐานต้องไม่เกิน$K_1$. เราเกี่ยวข้อง$K_1$ ถึง $K^2$ ด้านบนและผลลัพธ์เป็นดังนี้