ความโค้งเฉลี่ยของทรงกระบอกยาวไม่สิ้นสุดคืออะไร?

Aug 18 2020

มีใครช่วยฉันได้ไหมว่าฉันจะคำนวณความโค้งเฉลี่ยของรัศมีทรงกระบอกยาวไม่สิ้นสุดได้อย่างไร $R$เหรอ? ฉันรู้นิยามของความโค้งเฉลี่ยเป็น

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

ที่ไหน $\kappa_i$ คือ $i$ความโค้งหลัก เนื่องจากกระบอกสูบมีความยาวไม่สิ้นสุดฉันคิดว่า$\kappa_2 = 0$(ตามแนวแกน) มีใครสามารถยืนยันได้หรือไม่?

จากนั้นความโค้งเฉลี่ยของทรงกระบอกยาวไม่สิ้นสุดพร้อมรัศมี $R$ จะเป็นเพียง

$H = \frac{1}{2R}$

ขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ!

คำตอบ

2 JeppeStigNielsen Aug 18 2020 at 14:06

ผลลัพธ์ของคุณถูกต้อง

เลือกจุดบนพื้นผิวทรงกระบอก คุณต้องโน้มน้าวตัวเองว่าทิศทางหลักหนึ่งตั้งฉากกับแกนของกระบอกสูบ (แต่เริ่มจากจุดของพื้นผิว) ตามทิศทางนี้พื้นผิวจะดูเหมือนวงกลมที่มีรัศมี$R$ดังนั้นความโค้งหลักของทิศทางนี้คือ $\kappa_1=\frac1R$. ทิศทางหลักอื่น ๆ ขนานกับแกนทรงกระบอกและตามทิศทางนี้พื้นผิวจะมีลักษณะ (ใกล้กับจุดของคุณ) เหมือนเส้นตรงดังนั้น$\kappa_2=0$. ดังนั้นจากสูตร$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ คุณจะได้ค่าความโค้งเฉลี่ยที่คุณพูดถึง

ตามที่ TonyK กล่าวนี่ก็เหมือนกันสำหรับทุกจุดที่คุณเลือก ดังนั้นถ้าคุณคำนึงถึง$H$ ในฐานะฟังก์ชันการทำแผนที่แต่ละจุดบนพื้นผิวกับจำนวนจริงจากนั้น $H$ เป็นค่าคงที่สำหรับพื้นผิวทรงกระบอก

ที่เราเห็นความโค้งเฉลี่ยเป็นท้องถิ่นคุณสมบัติดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าถ้าถังเป็นอนันต์ยาวหรือไม่ ตราบเท่าที่มีพื้นที่ใกล้เคียงรอบ ๆ จุดที่คุณพิจารณาโดยที่พื้นผิวเป็นทรงกระบอกดังนั้นความโค้งเฉลี่ยที่จุดนั้นคือ$\frac1{2R}$.