ความน่าจะเป็นและความคาดหวังคำถามหนังสือ IMO
ฉันพยายามแก้ปัญหานี้ แต่ไม่เข้าใจวิธีแก้ปัญหาเมื่อเห็น
ปัญหา:มี$8$ สาว ๆ และ $7$เด็กผู้ชายในงานสังสรรค์นั่งรอบโต๊ะกลม ถ้าผู้หญิงทั้งหมดนั่งด้วยกันก็จะมีเด็กผู้หญิงเพียงสองคนที่อยู่ติดกับเด็กผู้ชาย ถ้าเด็กผู้หญิงและเด็กผู้ชายนั่งสลับกันมากที่สุดก็มี$14$ที่นั่งคู่ที่เป็นเด็กหญิงและเด็กชายอยู่ติดกัน โดยเฉลี่ยแล้วมีที่นั่งเด็กผู้หญิงและเด็กผู้ชายอยู่ติดกันกี่คู่
ความคิดเห็น: ปัญหาของฉันคือเมื่อฉันดูวิธีแก้ปัญหาฉันไม่เข้าใจว่าทำไมพวกเขาจึงใช้ความน่าจะเป็น $1$ จับคู่และคูณด้วย $15$(จำนวนที่นั่งทั้งหมด) ฉันไม่มั่นใจว่าเหตุการณ์การมีคู่ในที่นั่งเดียวนั้นไม่ขึ้นอยู่กับการมีคู่ที่ที่นั่งอื่นเนื่องจากจำนวนเด็กชาย / เด็กหญิงที่เหลือแตกต่างกัน
ใครช่วยกรุณาช่วยฉันเข้าใจว่ามีอะไรผิดปกติกับเหตุผลของฉันและเหตุใดความน่าจะเป็นของที่นั่ง $i,j$ มีคู่ที่เป็นอิสระจากที่นั่ง $j,j+1$ มีคู่?
คำตอบ
ปล่อย $A$ เป็นกลุ่ม abelian แบบวัฏจักร $\Bbb Z/15$ ด้วย $15$องค์ประกอบ พิจารณาพื้นที่$\Omega$ ของทั้งหมด $\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, ดังนั้น $\sum \omega=8$. ที่นี่เราระบุ$\omega$ ด้วยทูเพิล $(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$ และ $\sum\omega$ คือผลรวมของส่วนประกอบของ $\omega$. เรากำหนดตัวแปรสุ่ม$X_a$ สำหรับ $a\in A$ ที่กำหนดโดย $X_a(\omega)=\omega_a$.
(เราถือว่าเด็กผู้หญิงคนหนึ่งยอมแพ้ต่อไฟล์ $1$ การเข้า $\omega$, เด็กชายถึง $0$ เข้าและใช้ลำดับแบบวนรอบของดัชนีเพื่อให้ดัชนีเหล่านั้นอยู่ในลำดับเดียวกันรอบ ๆ โต๊ะกลม)
ฟังก์ชันให้จำนวนคู่ที่อยู่ติดกัน $01$ และ / หรือ $10$ คือตัวแปรสุ่ม $Z$... $$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$ บรรทัดสุดท้ายโดยใช้สมมาตรแบบวงกลมบน $\Omega$ เกิดจากการกระทำของ $A$.
อาร์กิวเมนต์นี้ "สรุป" ข้อมูลและให้เราดูเฉพาะที่นั่งที่มีป้ายกำกับ $0$ และ $1$.