ความน่าจะเป็นในการเลือกจอบหรือเอซจากสำรับไพ่
ค้นหาความน่าจะเป็นที่กำหนด $i$ ไพ่จากสำรับ $52$, $j$ ของพวกเขาคือจอบและ $k$ ของพวกเขาคือเอซโดยที่ $1\leq i\leq 52, \max\{i-39,0\}\leq j\leq \min\{i, 13\},$ และ $\max\{i-48, 0\}\leq k\leq \min\{i, 4\}.$
ในกรณีทั่วไปเห็นได้ชัดว่ามีหลายวิธีในการเลือกไฟล์ $i$ การ์ดคือ ${52\choose i}$. กำหนด$P(A_1)$ เป็นความน่าจะเป็นที่ $j$ จอบถูกเลือกและ $P(A_2)$ ความน่าจะเป็นที่ $k$เอซถูกเลือก เพื่อคำนวณ$P(A_1),$ เราเลือกโพดำจากนั้นจึงเลือก nonspades และในทำนองเดียวกันสำหรับ $P(A_2)$. เพื่อคำนวณ$P(A_1\cap A_2),$เราพิจารณาจำนวนความเป็นไปได้ที่มีเอซโพดำหรือไม่มีเอซโพดำ แล้ว$P(A_1) = \dfrac{{13\choose j}{39\choose i-j}}{{52\choose i}}, P(A_2) = \dfrac{{4\choose k}{48\choose i-k}}{{52\choose i}}, P(A_1\cap A_2) = \dfrac{{1\choose 1}{3\choose k-1}{12\choose j-1}{36\choose i-j-k+1} + {3\choose k}{12\choose j}{36\choose i-j-k}}{{52\choose i}}$, ที่ไหน ${a\choose b} = 0$ ถ้า $b < 0$ หรือ $b > a$เพื่อความเรียบง่าย ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือผลลัพธ์$P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2).$
ถูกต้องหรือไม่
คำตอบ
ใช่. การให้เหตุผลและการนับของคุณถูกต้อง
$$\begin{align} \mathsf P(\spadesuit_j)&=\left.\tbinom {13}{j}\tbinom{39}{i-j}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k)&=\left.\tbinom{4}{k}\tbinom{48}{i-k}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j)&=\left.\left[\tbinom 11\tbinom 3{k-1}\tbinom {12}{j-1}\tbinom{36}{i-j-k+1}+\tbinom10\tbinom 3k\tbinom{12}j\tbinom{36}{i-j-k}\right]\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cup\spadesuit_j)&=\mathsf P(\spadesuit_j)+\mathsf P(A_k)-\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j) \end{align}$$