ความน่าจะเป็นในการสอบผ่านเนื่องจากรูปแบบการให้คะแนนที่แตกต่างกันสองแบบ
ฉันได้พูดคุยกับเพื่อนคนหนึ่งเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านโดยมีรูปแบบการให้คะแนนที่แตกต่างกันสองแบบและฉันไม่แน่ใจว่าฉันเชื่อในสิ่งที่เพื่อนของฉันระบุ
พวกเขาระบุว่าการสอบด้วยคำถาม 10 ข้อโดยที่เกรดที่ผ่านคือคำถามที่ถูกต้อง 5 ข้อและการสอบที่มี 6 คำถามโดยที่เกรดผ่านคือ 3 คำถามมันจะดีกว่าถ้าทำข้อสอบ 10 ข้อเนื่องจากมีโอกาสสอบผ่านเพิ่มขึ้น . ฉันไม่ได้ซื้ออาร์กิวเมนต์เนื่องจากดูเหมือนว่าการสอบจะเทียบเท่ากันกล่าวคือคุณต้องมี 50% จึงจะผ่าน อย่างไรก็ตามเพื่อนของฉันยืนกรานเกี่ยวกับประเด็นของพวกเขา ใครสามารถชี้แจงเรื่องนี้?
คำตอบ
ความถูกหรือผิดของคำพูดของเพื่อนของคุณขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการตอบคำถามแต่ละข้ออย่างถูกต้อง
หากคุณคิดว่าการทดสอบเป็นชุดของ $2N$ คำถามจริง / เท็จพร้อมด้วย N คำตอบที่ถูกต้องที่ต้องผ่านโดยที่ความน่าจะเป็นของคุณในการตอบคำถามใด ๆ คือ $p$แล้วความน่าจะเป็น $P$ การผ่านการทดสอบเป็นเช่นนั้น:
สำหรับ $p<0.5$, $P$ ตกอยู่ในความซ้ำซากจำเจด้วยการเพิ่ม N และขีด จำกัด ของ $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0$ดังนั้นจึงควรเลือกแบบทดสอบที่มีจำนวนคำถามน้อยที่สุด
สำหรับ $p=0.5$ ความน่าจะเป็นของการส่งผ่านยังคงลดลงโดยเพิ่ม N (แต่ตอนนี้เส้นกำกับเป็น 0.5) $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0.5$ดังนั้นให้เลือกแบบทดสอบที่มีคำถามจำนวนน้อยที่สุด
สำหรับ $0.5<p<2/3$ ความน่าจะเป็นของการส่งผ่านในตอนแรกจะลดลงด้วยการเพิ่ม N แต่จะเพิ่มขึ้นด้วย N ที่ใหญ่กว่าและอยู่ในขีด จำกัด $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$ดังนั้นทางเลือกของคุณจะขึ้นอยู่กับจำนวนคำถามสูงสุด ตัวอย่างเช่นถ้า$p=0.51$ จากนั้นนั่งทดสอบด้วย $N\simeq570$ คำถามดีกว่าการทดสอบด้วย $N=2$ คำถาม
สำหรับ $p>2/3$ ความน่าจะเป็นของการส่งผ่านจะเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจเมื่อเพิ่ม N และอยู่ในขีด จำกัด $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$ดังนั้นคุณควรเลือกแบบทดสอบที่มีคำถามมากที่สุด
ในตัวอย่างของคุณการเลือกคำถาม 6 ข้อหรือแบบทดสอบ 10 ข้อความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จของคุณจะเท่ากันโดยประมาณหาก $p\simeq0.564$ (ในกรณีนั้น $P\simeq0.7674$) จะดีกว่าถ้าทำแบบทดสอบ 6 คำถามถ้า $p<0.564$แต่คุณควรเลือกแบบทดสอบ 10 คำถามหาก $p>0.564$.
เพื่อนของคุณพูดไม่ถูกโดยสมมติว่าคุณกำลังพลิกเหรียญเพื่อตัดสินว่าคุณถูกหรือผิด คุณทั้งคู่ลืมไปแล้วว่าคะแนน 0 เป็นไปได้ซึ่งหมายความว่าโอกาสในการผ่านไม่ใช่ 50%
ในการทดสอบ 10 คำถามคะแนนที่เป็นไปได้ 6 จาก 11 คะแนนจะผ่าน ในแบบทดสอบ 6 คำถามคะแนน 4/7 จะผ่าน หากคุณกำลังโยนเหรียญความน่าจะเป็นที่จะผ่านคือ
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$ หรือ $$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
สำหรับการทดสอบหกและ 10 คำถามตามลำดับ นั่นคือ 65% สำหรับแบบทดสอบ 6 คำถามและ 62% สำหรับแบบทดสอบ 10 คำถาม
จะดีกว่าที่จะทำข้อสอบ 6 ข้อหากคุณคิดว่าคำถามแต่ละข้อเป็นการโยนเหรียญว่าคุณพูดถูกหรือไม่
คำตอบ: ขึ้นอยู่กับ แต่สำหรับการทดสอบจริง / เท็จเพียร์ของคุณไม่ถูกต้อง
การรับ 5 ถูกและ 5 ผิดคือการสั่ง RRRRRWWWWW โดยที่ R ถูกและ W ผิด มี$\binom{10}{5} = 252$วิธี ในทำนองเดียวกันสำหรับ 6 ขวา 7 ขวา ฯลฯ
นี่คือ $\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$ซึ่งเท่ากับ $638$. หารด้วย$2^{10}$ ทำให้เราได้รับประมาณ $0.623$.
ตอนนี้การรับ 3 ถูกและ 3 ผิดคือการสั่งซื้อ RRRWWW เราต้องการค้นหา$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$ซึ่งออกมาให้ $42$. หารด้วย$2^6$ ทำให้เราได้รับประมาณ $0.652$.
$0.623 < 0.652$ดังนั้นเพื่อนของคุณจึงไม่ถูกต้อง