ความน่าจะเป็นในการอยู่ในกลุ่มภายในทีม
เป็นเวลานานแล้วที่ฉันเข้าโรงเรียนดังนั้นคณิตศาสตร์ของฉันจึงเป็นเรื่องที่น่าสนใจจริงๆ
มีเกมหนึ่งที่ฉันเล่นโดยมีกลุ่มผู้เล่นสิบคนและสองคนถูกสุ่มเลือกว่าเป็น "ผู้แอบอ้าง"
ความเป็นไปได้ที่ฉันจะถูกเลือกให้เป็นหนึ่งในผู้แอบอ้างคืออะไร?
ฉันให้เหตุผลว่า:
จำนวนวิธีที่ฉันจะเป็นผู้แอบอ้าง =$\binom{1}1$.
จำนวนวิธีในการเลือกบุคคลที่สองให้เป็นผู้แอบอ้าง =$\binom{9}1$.
พื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด =$\binom{10}2\binom{8}8$.
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ฉันเป็นคนแอบอ้างก็คือ $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$
เมื่อฉันมองไปที่ $m$ นักต้มตุ๋นและ $n$ ผู้เล่นฉันใช้ตรรกะเดียวกันเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นสุดท้ายของ $\frac{m}{n}$. ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันไม่ได้คาดหวังผลลัพธ์นี้ (มันจะเป็นอัตราส่วนคงที่) มีสัญชาตญาณบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? ฉันคาดว่าผลลัพธ์จะน้อยกว่า$m/n$เนื่องจากดูเหมือนว่าจะมีการเรียงสับเปลี่ยนมากมายให้เลือกทีม $m$ ผู้หลอกลวง (ตัวอย่างเช่นถ้า $m = 10$, $n = 140$)
คำตอบ
ตัวเศษไม่ถูกต้อง: คุณกำลังมองหาวิธีที่คุณเป็นหนึ่งในผู้แอบอ้าง มีความเป็นไปได้ 9 อย่างคือคุณและคนอื่นโดยที่คนอื่นถูกเลือกจาก 9 คน โปรดทราบว่าลำดับของคุณและอีกฝ่ายไม่สำคัญดังนั้นการเลือกอีกฝ่ายก็เพียงพอแล้ว
แก้ไข: โดยทั่วไปคุณมี $n$ คน (รวมถึงคุณ) และ $m$ นักต้มตุ๋น
ความน่าจะเป็นที่คุณเป็นผู้แอบอ้างคือ: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. ตัวเศษเป็นจำนวนของตัวปลอมอีกครั้งยกเว้นคุณและตัวส่วนเป็นตัวเลือกของผู้หลอกลวงอีกครั้งโดยไม่มีข้อ จำกัด ใด ๆ ที่เกี่ยวข้อง
ในความคิดของฉันมันใช้งานง่ายมาก - m ใน n คนเป็นพวกแอบอ้างดังนั้นคุณก็มี $m/n$ความน่าจะเป็นของการแอบอ้าง นี่คือสิ่งที่คล้ายกับ "1 ใน 300 คนมี Coronavirus ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คุณจะมี (จากมุมมองที่เป็นจริง - ฉันไม่รู้จักคุณเลย) คือ 1/300